Aiuto esercizio su funzioni lineari
Volevo sapere se qualcuno di voi può aiutarmi a sbrogliare il seguente esercizio:
Si dica se esiste una funzione lineare L da R^3 in sè tale che l'antiimmagine di (1,0,0) sia (1,0,0)+<(1,1,0)> e (2,1,1) sia autovettore relativo all'autovalore 3.
In teoria ho 3 condizioni: L(1,0,0)=(1,0,0) e L(1,1,0)=(0,0,0), dato che il nucleo è l'antiimmagine del vettore nullo. Mi manca la terza condizione, ovvero che (2,1,1) sia autovettore relativo all'autovalore 3. Io so che, posta A una matrice quadrata di ordine 3, si deve avere : A * (2,1,1) = 3*(2,1,1) perchè (2,1,1) sia autovettore relativo all'autovalore 3. Ma non so cosa farci con questa condizione e come legarla alle altre per svolgere l'esercizio.
Si dica se esiste una funzione lineare L da R^3 in sè tale che l'antiimmagine di (1,0,0) sia (1,0,0)+<(1,1,0)> e (2,1,1) sia autovettore relativo all'autovalore 3.
In teoria ho 3 condizioni: L(1,0,0)=(1,0,0) e L(1,1,0)=(0,0,0), dato che il nucleo è l'antiimmagine del vettore nullo. Mi manca la terza condizione, ovvero che (2,1,1) sia autovettore relativo all'autovalore 3. Io so che, posta A una matrice quadrata di ordine 3, si deve avere : A * (2,1,1) = 3*(2,1,1) perchè (2,1,1) sia autovettore relativo all'autovalore 3. Ma non so cosa farci con questa condizione e come legarla alle altre per svolgere l'esercizio.
Risposte
La definizione di autovettore $v$ di autovalore $lambda$ è che $f(v)=lambdav$ con $f$ applicazione lineare.
Quindi ora le condizioni ce le hai tutte e tre!
Quindi ora le condizioni ce le hai tutte e tre!
Quindi in pratica la terza condizione è : L(2,2,1)=(6,6,3) ?
Esatto!
Cavolo era così semplice.. Grazie mille per l'aiuto 
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