Aiuto esercizio sottospazi vettoriali
Ciao a tutti
sono di nuovo alle prese con un esercizio sugli spazi vettoriali e ho un problema che spero qualcuno mi possa dare una mano a risolvere.
io ho due sottospazi di [tex]\mathbb{R}^{5}[/tex]
$W_1 = span( ( (1),(-1), (0), (1), (1)); ((1),(-2), (-2), (1), (2)) ; ((0),(1), (2), (0), (-1)) ; ((-1),(3), (4), (-1), (-3)) )$
$W_2 ={ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \in \mathbb{R}^{5} | x_1-x_4+2x_5= x_2+x_3=0 }$
Devo decomporre il vettore $k = (0,2,0,0,0)$ nella somma di un vettore $k_1 \in W_1$ e $k_2 \in W_2$
per prima cosa il mio ragionamento si è concentrato sul significato di "span"
a quanto ho capito lo span di un sottospazio vettoriale è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori indicati. E' corretto?
e poi ho semplicemente pensato che il vettore $k_1$ debba quindi essere una combinazione lineare dei vettori $W_1$, mentre $k_2$ debba rispettare le condizioni di $W_2$
infine la loro somma deve ovviamente dare $k$
se io scrivo $k_1$ come generica combinazione lineare lasciando indicati i coefficienti, e riscrivo il vettore $k_2$ utilizzando le condizioni di $W_2 ottengo$
$ a( (1),(-1), (0), (1), (1)) + b((1),(-2), (-2), (1), (2)) + c((0),(1), (2), (0), (-1)) + d((-1),(3), (4), (-1), (-3)) + ((x_1),(x_2), (-x_2), (x_1+2x_5), (x_5)) = ( (0),(2), (0), (0), (0))$
ma come è ovvio mi viene un sistema con troppe incognite.
qualcuno mi sa suggerire un metodo per proseguire?
vi ringrazio molto
Buona serata a tutti
sono di nuovo alle prese con un esercizio sugli spazi vettoriali e ho un problema che spero qualcuno mi possa dare una mano a risolvere.
io ho due sottospazi di [tex]\mathbb{R}^{5}[/tex]
$W_1 = span( ( (1),(-1), (0), (1), (1)); ((1),(-2), (-2), (1), (2)) ; ((0),(1), (2), (0), (-1)) ; ((-1),(3), (4), (-1), (-3)) )$
$W_2 ={ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \in \mathbb{R}^{5} | x_1-x_4+2x_5= x_2+x_3=0 }$
Devo decomporre il vettore $k = (0,2,0,0,0)$ nella somma di un vettore $k_1 \in W_1$ e $k_2 \in W_2$
per prima cosa il mio ragionamento si è concentrato sul significato di "span"
a quanto ho capito lo span di un sottospazio vettoriale è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori indicati. E' corretto?
e poi ho semplicemente pensato che il vettore $k_1$ debba quindi essere una combinazione lineare dei vettori $W_1$, mentre $k_2$ debba rispettare le condizioni di $W_2$
infine la loro somma deve ovviamente dare $k$
se io scrivo $k_1$ come generica combinazione lineare lasciando indicati i coefficienti, e riscrivo il vettore $k_2$ utilizzando le condizioni di $W_2 ottengo$
$ a( (1),(-1), (0), (1), (1)) + b((1),(-2), (-2), (1), (2)) + c((0),(1), (2), (0), (-1)) + d((-1),(3), (4), (-1), (-3)) + ((x_1),(x_2), (-x_2), (x_1+2x_5), (x_5)) = ( (0),(2), (0), (0), (0))$
ma come è ovvio mi viene un sistema con troppe incognite.
qualcuno mi sa suggerire un metodo per proseguire?
vi ringrazio molto
Buona serata a tutti
Risposte
@Summerwind78,
quindi devi verificare semplicemente se \( k \in W_1 + W_2 \)?!
quindi devi verificare semplicemente se \( k \in W_1 + W_2 \)?!
Purtroppo no. Devo proprio trovare le componenti di $k_1$ e $k_2$
Noto che in $ W_1 $ il terzo e il quarto vettore sono combinazione lineare dei primi due:
$ w_3 = w_1-w_2 $
$ w_4 = w_1-2w_2 $
quindi nella combinazione lineare per dare il vettore k potranno comparire solo $ w_1 $ et $ w_2 $...
$ w_3 = w_1-w_2 $
$ w_4 = w_1-2w_2 $
quindi nella combinazione lineare per dare il vettore k potranno comparire solo $ w_1 $ et $ w_2 $...
"ostrogoto":
Noto che in $ W_1 $ il terzo e il quarto vettore sono combinazione lineare dei primi due:
$ w_3 = w_1-w_2 $
$ w_4 = w_1-2w_2 $
quindi nella combinazione lineare per dare il vettore k potranno comparire solo $ w_1 $ et $ w_2 $...
quindi posso dire che $span(w_1,w_2,w_3,w_4) = span(w_1,w_2)$ in questo caso?
Comunque adesso mi torna tutto. Grazie mille
SI, puoi affermare $ span(w_1,w_2,w_3,w_4)=span(w_1,w_2) $
Scusa la risposta in ritardo...
Scusa la risposta in ritardo...
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