Aiuto esercizio matrici e basi

zompetta
Sia V lo spazio delle matrici simmetriche di ordine 2, e W= R2[t] lo spazio dei polinomi di grado <=2, e f:V -> W l'applicazione lineare definita ponendo:
f $ [ ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ] = 3-t+t^2 $ , f $ [ ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) ] = 1+2t -t^2 $ f $ [ ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ] = 1-5t+3t^2 $

a) si spieghi perchè la funzione è ben definita.
b) si scriva la matrice A=C[f]B che esprime f rispetto alla base B= $ ([ ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ],[ (0 ,1),(1 ,0) ] ,[ (0 ,0),(0 ,1) ] $ di partenza, e alla base C =( $ (1,t,t^2) $ di arrivo.

aiutatemi...come si trova la matrice?? potreste spiegarmi tutti i passaggi per favore?? :| :?

Risposte
Sk_Anonymous
a) Le tre matrici di cui conosci le immagini sono lin.ind. e quindi hai tre elementi di V e le corrispondenti immagini in W. Per un noto teorema, ciò detemina f in modo univoco.
b) Il quesito ha vari tipi i di risposta. Ecco come farei io (controlla comunque i calcoli. Non si sa mai !).
Esprimi dapprima la generica matrice di V in funzione di quelle date:
$((a,b),(b,c))=p((1,1),(1,0))+q((0,1),(1,1))+r((1,0),(0,0))$
Con facili calcoli hai che :
$p=b-c;q=c;r=a-b+c$
e quindi :
$((a,b),(b,c))=(b-c)((1,1),(1,0))+c((0,1),(1,1))+(a-b+c)((1,0),(0,0))$
Passando alle immagini risulta :
(1) $f((a,b),(b,c))=(a+2b-c)+(-5a+4b-2c)t+(3a-2b+c)t^2$
A questo punto, mediante la (1), puoi calcolare le immagini delle componenti della base B :
$ f((1,0),(0,0))=1-5t+3t^2 $
$ f((0,1),(1,0))=2+4t-2t^2 $
$ f((0,0),(0,1))=-1-2t+t^2 $
Adesso non si deve far altro che mettere in colonna i coefficienti dei tre polinomi ottenuti e si ha la matrice M richiesta :
$M=((1,2,-1),(-5,4,-2),(3,-2,1))$

In ultimo vorrei far osservare che nel calcolare mediante la M l'immagine di una data matrice 2x2, non potendosi moltiplicare una matrice 3x3 per una matrice 2x2, occorre sostituire alla matrice simmetrica 2x2 il vettore formato con i tre elementi distinti della medesima matrice 2x2. Ad esempio se si vuole l'immagine della matrice $((1,1),(1,3))$ occorrre moltiplicare M per il vettore $((1),(1),(3))$. Quindi l'immagine voluta è :
$f((1,1),(1,3))==((1,2,-1),(-5,4,-2),(3,-2,1))\cdot((1),(1),(3))=(0,-7,4)$
Pertanto il polinomio immagine è :$-7t+4t^2$

zompetta
Con facili calcoli hai che :
$p=b-c;q=c;r=a-b+c$

scusa lo so che sicuramente sarà una cavolata, ma non ho capito come fai a capire che p=b-c e r=a-b+c :|

Sk_Anonymous
$((a,b),(b,c))=p((1,1),(1,0))+q((0,1),(1,1))+r((1,0),(0,0))=((p+r,p+q),(p+q,q))$
Hai quindi il sistema :
\(\begin{cases}p+r=a\\p+q=b\\q=c\end{cases}\)
Da cui ottieni appunto :
$p=b-c;q=c;r=a-b+c$

zompetta
"ciromario":

Passando alle immagini risulta :
(1) $f((a,b),(b,c))=(a+2b-c)+(-5a+4b-2c)t+(3a-2b+c)t^2$


scusa come hai ragionato per trovare questo?? :|

Sk_Anonymous
$f((a,b),(b,c))=(b-c)f((1,1),(1,0))+(c)f((0,1),(1,1))+(a-b+c)f((1,0),(0,0))$
$f((a,b),(b,c))=(b-c)(3-t+t^2)+c(1+2t-t^2)+(a-b+c)(1-5t+3t^2)=(a+2b-c)+(-5a+4b-2c)t+(3a-2b+c)t^2$

zompetta
finalmente ci sono arrivata...!!!:D grazie mille!!:) :)

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