Aiuto esercizio geometria

[LexTravis]

Dato l'endomorfismo di R3: f(x,y,z)= (hx,-x+hy,hx+hy); Determinare:
-la dimensione dell'immagine di f al variare di h appartenente a R.
-h tale che il sottospazio W={(0,1,0),(0,0,1)}sia autospazio di f.
-posto h=2 determinare le controimmagini date dal vetto v=(2,1,4)

Ringrazio molto chi sarà in grado di aiutarmi,a presto Luca

[Woody1]

La matrice associata all'endomorfismo nella base canonica di R^3 è: M=
[h 0 0
-1 h 0
h h 0].
Segue che: dim(Im(f))<=2 . Poichè le prime due colonne sono linearmente indipendenti per ogni h in R (si vede facilmente usando il metodo dei determinanti), risulta che dim(Im(f))=2 per ogni h in R.
Polinomio caratteristico di f:
P(x)=(h-x)^2*(-x)=-x*(x-h)^2 . Radici (cioè autovalori):
l1=0 , l2=h . Autospazi:
V(l1)=ker(M)=<[0 0 1]> . V(l2)=ker(A) dove: A=
[0 0 0
-1 0 0
h h -h]
Se h=0 --> V(l2)=<[0 1 0],[0 0 1]>
Se h<>0 --> V(l2)=<[1 0 0],[0 1 1]>
Dunque deve essere h=0.
Se h=2 --> M=
[2 0 0
-1 2 0
2 2 0]
Basta risolvere il sistema lineare : M*v = [2 1 4] .
Saluti,

Woody

[LexTravis]

ho capito tutto!
molte grazie, sei stato molto esaustivo!
CIAO