Aiuto endomorfismo

[Maik89]

Salve a tutti ,

ragà non riesco a capire come devo svolgere questo endomorfismo, qualcuno può darmi qualche info:

Sia φ: ℝ4->ℝ4 l'endomorfismo tale che φ(x,y,z,t) = (x-2y, x-2z, y+t, x+2t).
Calcolare la matrice associata alla base canonica e determinare la dimensione ed una base per il nucleo e l'immagine di φ.


Grazie in anticipo.

[dariuccio_1988]

Iniziamo col dire che la base canonica di $R^4$ è ε: [ e1(1,0,0,0) ; e2(0,1,0,0) ; e3(0,0,1,0) ; e4(0,0,0,1) ]

Ora basta sostituire al generico vettore di $R^4$ (x,y,z,t) i quattro vettori della base ,
ad esempio nel tuo caso :
hai : φ(x,y,z,t) = (x-2y, x-2z, y+t, x+2t)

metti :

φ(1,0,0,0) = (1,1,0,1) [cioè al posto di x,y,z,t metti x=1, y=0 , z=0 , t=0 ]

poi :

φ(0,1,0,0) = (-2,0,1,0) come prima

e cosi via troverai quattro immagini che sono :
(1,1,0,1) , (-2,0,1,0) , ............ (le altre le calcoli sono altre due)

otterrai quattro immagini formate da quattro elementi , in sostanza avrai una matrice 4x4
mettendo in colonna le quattro immagini

$((1,-2,...,...),(1,0,...,...),(0,1,...,...),(1,0,...,...))$

ecco la matrice ed ora puoi studiare Imf e Kerf.