Aiuto basi + complemento ortogonale
sia U= $<[[1],[-1],[1],[2]]$,$[[3],[-2],[2],[1]]$,$[[5],[-4],[4],[5]]>$
determinare una base per U
determinare una base per il complemento ortogonale di U
dire se X=$[[4],[4],[-4],[4]]$ appartiene a U
qualche idea?
non riesco a farmi entrare in testa ste basi...
$[[5],[-4],[4],[5]]$ non può essere una base perchè si può ottenere dagli altri due.
una base può essere questa?
$[[1],[-1],[1],[2]]$,$[[3],[-2],[2],[1]]$,$[[1],[0],[0],[0]]$,$[[0],[1],[0],[0]]$
determinare una base per U
determinare una base per il complemento ortogonale di U
dire se X=$[[4],[4],[-4],[4]]$ appartiene a U
qualche idea?
non riesco a farmi entrare in testa ste basi...
$[[5],[-4],[4],[5]]$ non può essere una base perchè si può ottenere dagli altri due.
una base può essere questa?
$[[1],[-1],[1],[2]]$,$[[3],[-2],[2],[1]]$,$[[1],[0],[0],[0]]$,$[[0],[1],[0],[0]]$
Risposte
Sono un po' arrugginito su queste cose ma dovrebbe funzionare cosi
Determinare una base per U.
prima devi vedere quanti di questi 3 vettori sono lin indipendenti ( calcolandone il rango?) quello che è sicuro è che sono al massimo 3 i vettodi di base non 4 come hai scritto
dire se X appartiene a U. X appartiene a U solo se X lo puoi scrivere come somma algebrica dei vettori di base U. quindi se $X=a*U1+b*U2+c*U3$ e armati di pazienza e calcoli
Spero di non aver scritto stupidate
Determinare una base per U.
prima devi vedere quanti di questi 3 vettori sono lin indipendenti ( calcolandone il rango?) quello che è sicuro è che sono al massimo 3 i vettodi di base non 4 come hai scritto
dire se X appartiene a U. X appartiene a U solo se X lo puoi scrivere come somma algebrica dei vettori di base U. quindi se $X=a*U1+b*U2+c*U3$ e armati di pazienza e calcoli
Spero di non aver scritto stupidate
Allora, dipende dalla dimensione di $U$.
Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di generatori dello stesso che siano anche linearmente indipendenti.
Se non ho capito male (correggimi se sbaglio..) l'insieme di vettori ${(1, -1, 1, 2),(3, -2, 2, 1),(5, -4, 4, 5)}$ è un insieme di generatori del tuo spazio $U$.
Detto questo, tramite il metodo degli scarti successivi, da un insieme di generatori si può sempre estrarre una base semplicemente scartando i vettori nulli e quelli linearmente dipendenti dagli altri.
Nel tuo caso potresti ridurre per righe la matrice: $((1, -1, 1, 2),(3, -2, 2, 1),(5, -4, 4, 5))$, ciò che rimarrà sarà una base di $U$ formata da due vettori, quindi $U$ ha dimensione due.
A questo punto passiamo al complemento ortogonale: il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale $U$ è quel sottospazio vettoriale dello stesso spazio vettoriale i cui vettori godono della proprietà di essere ortogonali a tutti i vettori di $U$.
Nel tuo caso $U$ è sottospazio vettoriale di $RR_4$, quindi $U'$ (chiamo così $U$ ortogonale) sarà anche lui sottospazio di $RR_4$.
Posto a questo punto $v_1$ il primo vettore della base di $U$ e $v_2$ il secondo, il generico vettore $x = (x_1,x_2,x_3,x_4)$ di $U'$ deve essere tale che:
$ = 0$ e $ = 0$ (dove con $$ intendo il prodotto scalare tra vettori). Risolvi il sistema e ricavi una base di $U'$.
Per verifica ti posso aggiungere questa proprietà di $U'$:
1. $U$ e $U'$ sono sempre supplementari, quindi hanno intersezione banale e la somma delle dimensioni deve dare la dimensione dello spazio di partenza.
Spero di essere stato utile..
Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di generatori dello stesso che siano anche linearmente indipendenti.
Se non ho capito male (correggimi se sbaglio..) l'insieme di vettori ${(1, -1, 1, 2),(3, -2, 2, 1),(5, -4, 4, 5)}$ è un insieme di generatori del tuo spazio $U$.
Detto questo, tramite il metodo degli scarti successivi, da un insieme di generatori si può sempre estrarre una base semplicemente scartando i vettori nulli e quelli linearmente dipendenti dagli altri.
Nel tuo caso potresti ridurre per righe la matrice: $((1, -1, 1, 2),(3, -2, 2, 1),(5, -4, 4, 5))$, ciò che rimarrà sarà una base di $U$ formata da due vettori, quindi $U$ ha dimensione due.
A questo punto passiamo al complemento ortogonale: il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale $U$ è quel sottospazio vettoriale dello stesso spazio vettoriale i cui vettori godono della proprietà di essere ortogonali a tutti i vettori di $U$.
Nel tuo caso $U$ è sottospazio vettoriale di $RR_4$, quindi $U'$ (chiamo così $U$ ortogonale) sarà anche lui sottospazio di $RR_4$.
Posto a questo punto $v_1$ il primo vettore della base di $U$ e $v_2$ il secondo, il generico vettore $x = (x_1,x_2,x_3,x_4)$ di $U'$ deve essere tale che:
$
Per verifica ti posso aggiungere questa proprietà di $U'$:
1. $U$ e $U'$ sono sempre supplementari, quindi hanno intersezione banale e la somma delle dimensioni deve dare la dimensione dello spazio di partenza.
Spero di essere stato utile..
intanto grazie mille per le risposte
$[[5],[-4],[4],[5]]$ si può ottenere sommando gli altri due (diciamo 2V1 + V2)
quindi lo scarto
ma allora una base è semplicemente questa? $[[1],[-1],[1],[2]]$,$[[3],[-2],[2],[1]]$
$[[5],[-4],[4],[5]]$ si può ottenere sommando gli altri due (diciamo 2V1 + V2)
quindi lo scarto
ma allora una base è semplicemente questa? $[[1],[-1],[1],[2]]$,$[[3],[-2],[2],[1]]$
Prova a verificarlo tu!
Per verificare che si tratta di una base di $U$ devi rispondere alle seguenti domande:
1. I due vettori generano l'intero spazio $U$?
2. Sono linearmente indipendenti?
Se le risposte a queste due domande sono entrambe affermative, allora la risposta è sì, si tratta di una base.
Per la domanda 1. tieni conto che se un vettore $v$ si scrive come combinazione lineare di $u$ e $w$ allora $ =$ (perchè?)
Per verificare che si tratta di una base di $U$ devi rispondere alle seguenti domande:
1. I due vettori generano l'intero spazio $U$?
2. Sono linearmente indipendenti?
Se le risposte a queste due domande sono entrambe affermative, allora la risposta è sì, si tratta di una base.
Per la domanda 1. tieni conto che se un vettore $v$ si scrive come combinazione lineare di $u$ e $w$ allora $
bè ho usato il metodo degli scarti all'inizio, ho visto che uno non è multiplo dell'altro quindo per me sono linearmente indipendenti...
però come faccio a capire se generano l'intero spazio di U? io ho visto solo che generano il terzo vettore (quello che ho scartato appunto)
è la stessa cosa che dici tu?
sono un caso disperato eh?
per quanto riguarda il complemento ortogonale ho provato a fare così:
pongo il prodotto scalare uguale a zero:
$[[1],[-1],[1],[2]]$ * $[[x],[y],[z],[t]]$ =0 $[[3],[-2],[2],[1]]$ * $[[x],[y],[z],[t]]$ =0
risolvo il sistema e mi ritrovo:
x=3b
y=a+5b
z=a
t=b
e per trovare la base del complemento ortogonale????
però come faccio a capire se generano l'intero spazio di U? io ho visto solo che generano il terzo vettore (quello che ho scartato appunto)
è la stessa cosa che dici tu?
sono un caso disperato eh?
per quanto riguarda il complemento ortogonale ho provato a fare così:
pongo il prodotto scalare uguale a zero:
$[[1],[-1],[1],[2]]$ * $[[x],[y],[z],[t]]$ =0 $[[3],[-2],[2],[1]]$ * $[[x],[y],[z],[t]]$ =0
risolvo il sistema e mi ritrovo:
x=3b
y=a+5b
z=a
t=b
e per trovare la base del complemento ortogonale????
Come sono fatti i vettori di $U$?
Dalla definizione di $U$, sono tutti e soli i vettori nella forma $v=a((1),(-1),(1),(2))+b((3),(-2),(2),(1))+c((5),(-4),(4),(5))$
Devi capire se questo generico vettore può essere scritto come combinazione lineare solo dei primi due...Ma questo è facile perchè il terzo è combinazione dei primi due. E allora
$v=(a+2c)((1),(-1),(1),(2))+(b+c)((3),(-2),(2),(1))
(è chiaro perchè? Se non è chiaro chiedi pure)
Quindi tutti i vettori di $U$ possono essere scritti come combinazione dei due vettori e cioè i due vettori generano $U$.
Per la lineare indipendenza, ok, non sono proporzionali quindi sono linearmente indipendenti.
Per quanto riguarda l'ortogonale, tu hai provato che i vettori di $U^\bot$ sono tutti e soli i vettori $v$ nella forma (non ho controllato, spero siano corretti)
$v=((x),(y),(z),(t))=((3b),(a+5b),(a),(b))=a((0),(1),(1),(0))+b((3),(5),(0),(1))$
Secondo te, quali saranno i vettori di una base di $U^\bot$?
Dalla definizione di $U$, sono tutti e soli i vettori nella forma $v=a((1),(-1),(1),(2))+b((3),(-2),(2),(1))+c((5),(-4),(4),(5))$
Devi capire se questo generico vettore può essere scritto come combinazione lineare solo dei primi due...Ma questo è facile perchè il terzo è combinazione dei primi due. E allora
$v=(a+2c)((1),(-1),(1),(2))+(b+c)((3),(-2),(2),(1))
(è chiaro perchè? Se non è chiaro chiedi pure)
Quindi tutti i vettori di $U$ possono essere scritti come combinazione dei due vettori e cioè i due vettori generano $U$.
Per la lineare indipendenza, ok, non sono proporzionali quindi sono linearmente indipendenti.
Per quanto riguarda l'ortogonale, tu hai provato che i vettori di $U^\bot$ sono tutti e soli i vettori $v$ nella forma (non ho controllato, spero siano corretti)
$v=((x),(y),(z),(t))=((3b),(a+5b),(a),(b))=a((0),(1),(1),(0))+b((3),(5),(0),(1))$
Secondo te, quali saranno i vettori di una base di $U^\bot$?
$[[0],[1],[1],[0]]$,$[[3],[5],[0],[1]]$
vero?
Perfetto! 
Per verificarlo, come sopra, devi verificare che sono linearmente indipendenti (ed è facile) e che generano $U^\bot$. Ma quest'ultima cosa l'abbiamo già verificata, perchè abbiamo provato che tutti i vettori di $U^\bot$ si scrivono come combinazione lineare di quei due vettori.
Per verificarlo, come sopra, devi verificare che sono linearmente indipendenti (ed è facile) e che generano $U^\bot$. Ma quest'ultima cosa l'abbiamo già verificata, perchè abbiamo provato che tutti i vettori di $U^\bot$ si scrivono come combinazione lineare di quei due vettori.
benisssimo
adesso devo verificare se
$[[4],[4],[-4],[4]]$
appartiene a U.
secondo me no, non riesco ad ottenerlo dalla combinazione lineare di
$[[1],[-1],[1],[2]]$,$[[3],[-2],[2],[1]]$
tra l'altro per quanto sommi o sottragga non potrò mai avere la x positiva, la y positiva e la z negativa contemporaneamente in un vettore di U...
intendendolo nella forma $[[x],[y],[z],[t]]$
adesso devo verificare se
$[[4],[4],[-4],[4]]$
appartiene a U.
secondo me no, non riesco ad ottenerlo dalla combinazione lineare di
$[[1],[-1],[1],[2]]$,$[[3],[-2],[2],[1]]$
tra l'altro per quanto sommi o sottragga non potrò mai avere la x positiva, la y positiva e la z negativa contemporaneamente in un vettore di U...
intendendolo nella forma $[[x],[y],[z],[t]]$
Per dimostrare che $v=[[4],[4],[-4],[4]]$ non si può scrivere come combinazione lineare di $u_1=[[1],[-1],[1],[2]]$ e $u_2=[[3],[-2],[2],[1]]$, devi verificare che il rango di $((1,-1,1,2),(3,-2,2,1),(4,4,-4,4))$ è $3$.
Oppure equivalentemente puoi provare che il sistema
${(4=a+3b),(4=-a-2b),(-4=a+2b),(4=2a+b):}$
non ammette soluzione.
Oppure equivalentemente puoi provare che il sistema
${(4=a+3b),(4=-a-2b),(-4=a+2b),(4=2a+b):}$
non ammette soluzione.
ah ok...
ho verificato con entrambi i metodi e non fa parte.
grazie 1000 cirasa, mi hai chiarito non poco le idee
ho verificato con entrambi i metodi e non fa parte.
grazie 1000 cirasa, mi hai chiarito non poco le idee
Prego!
Lieto di esserti stato utile
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