Aiuto algebra

[nakj]

dato W=L{(1,1,-1),(2,-1,1)} e V=L{(1,2,-1),(-1,-1,2)} come faccio a trovare una base della intersezione tra W e V?

[Camillo]

Dato che è un po' lungo, ti rispondo domani.

Camillo

[Camillo]

Determino l'espressione del generico vettore $ w in W $ come combinazione lineare del primo e del secondo vettore che sono i generatori : moltiplico il primo vettore per a e il secondo per b , che sono coefficienti $in RR $ ; ottengo così :

$ w = (a+2b, a-b,-a+b) $

Ma, volendo arrivare a una rappresentazione cartesiana dello spazio generato considero che : $ w = (x,y,z ) $.

Quindi : $ w = (x,y,z) = (a+2b,a-b,-a+b) $.
Da cui il seguente sistema che rappresenta in forma parametrica un piano in $RR^3 $:
$x =a+2b$
$y = a-b $
$z = -a +b $ eliminando i parametri a, b ottengo l'equazione cartesiana del piano e quindi del sottospazio generato :
$ y+z = 0 $ , x qualunque.

Pertanto il generico vettore si esprime così :$ w= (x, y, -y ) $ e il sottospazio è di dimensione 2 ( 2 variabili libere : x,y )

Analogamente per il generico vettore v generato dagli altri 2 vettori si ha :
$ v =(x,y,z) = (a-b,2a-b,-a+2b)$ e si arriva alla forma parametrica del piano /sottospazio generato :

$ x= a-b$
$y=2a-b$
$z=-a+2b$
ed eliminando i parametri a , b si arriva all'equazione cartesiana del piano / sottospazio :
$ 3x -y +z =0 $ .
Esprimo cosi il generico vettore : $v = (x,y, y-3x) $ e il sottospazio è di dimensione 2 , ( 2 variabili libere : x,y).

Adesso bisogna determinare , se ci sono i vettori appartenenti a W intersez V :
Faccio sistema delle 2 equazioni che rappresentano i 2 piani/sottoinsiemi :
$ y+z = 0 $
$3x-y+z=0$
da cui :
$ z=-y$
$y=3x/2$ e quindi in conclusione :
il sottospazio intersezione di W e V ha dimensione uno ( una retta ) e il generico vettore ad esso appartenente si può scrivere come : $ ( a,3a/2,-3a/2)$ e una base è : $ ( 2, 3, -3) $.

Camillo