Aiutino esercizio sistema lineare omogeneo - soluzioni e base

[pivaino29]

Ciao, ho una domanda relativo ad un dubbio che ho su un esercizio.
L'esercizio è:
Determinare lo spazio delle soluzioni ed una base per il seguente sistema lineare omogeneo:
$\{(3x + y - z = 0),(4x + 2z + 3t= 0),(x - y -7z - 6t = 0):}$

Allora io ho svolto così: La matrice incomleta ha rango 3 in quanto il determinante di una della sottomatrici è $!=$ 0 quindi per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ammette $\infty^1$ soluzioni che ottengo risolvendo il sistema suddetto rispetto ad esempio le incognite x, y e z avendo la seguente soluzione:
$\{(x=-(9t)/10),(y=3t),(z=(3t)/10),(t=arbitraria):}$

Ora la mia domanda è questa:
1) Le soluzioni che ho trovato...sono "lo spazio delle soluzioni (generiche)" no?!?
2) Una sua base, non è altro che la soluzione trovata assegnando a t un numero arbitrario?
cioè ad es.
$\{(x=-9),(y=30),(z=3),(t=10):}$

Grazie in anticipo per gli eventuali chiarimenti

[minomic]

Ciao, non ho controllato i calcoli quindi andiamo in fiducia!
Comunque sì ad entrambe. In generale quello che si fa per comodità è "estrarre" il parametro. Consideriamo un esempio leggermente più difficile, in cui lo spazio delle soluzioni abbia dimensione pari a $2$. \[
\begin{cases}
x = 2y + 3z\\
y = y\\
z = z
\end{cases}
\] Le soluzioni si possono scrivere in questo modo \[
\left[\begin{array}{c}2y+3z\\y\\z\end{array}\right] =
y\left[\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right] +
z\left[\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right]
\] Cosa stiamo quindi dicendo? Che la generica soluzione si scrive come combinazione lineare di quei due vettori, i quali rappresentano quindi una base dello spazio delle soluzioni.