Aiutatemiiiii algebra lineare

[el_pocho]

Come faccio a stabilire se vi sono vettori di uno spazio (es.:R^3)privi di contoimmagine???Come faccio a stabilire se un certo vettore è un autovettore x un endomorfismo f e come posso determinarne il corrispondente autovalore??? Vi prego sta da due anni con questo esame

[_Tipper]

Per definizione, $v$ è un autovettore di $A$ se e solo se esiste una costante $\lambda$ tale che $A v = \lambda v$. Dunque ti calcoli $A v$, e guardi se questo vettore è multiplo di $v$.

[Gabriel6]

Quasi. In verità, $v$ è un autovettore di $A$ se e solo se $v \ne 0$ ed esiste eccetera.

[Dorian1]

Se parli di controimmagine vuol dire che ti stai riferendo ad un'applicazione $phi$: $V -> W$ spazi vettoriali su un corpo $K$(suppongo lineare...).
Si tratta di controllare la suriettività dell'applicazione. in poche parole, se NON è suriettiva, esiste almeno un vettore (e quindi almeno un sottospazio di dimensione 1...) che non ha preimmagine... L'insieme (anzi il sottospazio) complementare a $Im (phi)$ in $W$ è l'insieme che vai cercando...

Gli autovalori della matrice $A$ sono gli zeri del polinomio caratteristico $det (1x-A)$
Per ogni autovalore c'è un autospazio: se $alpha$ è autovalore, una base del suo autospazio si trova risolvendo il sistema di matrice incompleta $(A-alpha1)$ e di colonna dei termini noti una colonna di zeri.

P.S.: con $1$ intendo la matrice identica

[el_pocho]

Si ma praticamente cos'è che devo fare?????

[Lord K]

Hai la funzione lineare la trasformi in matrice, calcoli gli zeri del polinomio caratteristico e trovi gli autovalori, dopo di che risolvi il sistema ricavato come sopra sepcificato e trovi gli autovettori.

Per trovare il vettore privo di controimmagine, devi ricercare un vettore nell'insieme di arrivo che non provenga da nessun vettore del dominio. Ovvero verifichi la suriettività dell'endomorfismo e così facendo individui un candidato (per esempio completi ad una base la base del codominio e prendi il vettore completante).