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Ciao, non ho capito come devo risolvere questo esercizio ... qualcuno mi aiuta per favore?
"Si consideri l'endomorfismo di $RR^3$ definito da:
$((x),(y),(z)) = ((4x+2y),(-3x+3y),(0))$
Determinare f* $((1),(3),(1))$ dove f* indica l'aggiunto rispetto al prodotto scalare
= 2v1w1 + v1w2 + v2w1 + 5v2w2 + v3w3 ".
Grazie
"Si consideri l'endomorfismo di $RR^3$ definito da:
$((x),(y),(z)) = ((4x+2y),(-3x+3y),(0))$
Determinare f* $((1),(3),(1))$ dove f* indica l'aggiunto rispetto al prodotto scalare
Grazie
Risposte
Ragioniamoci un po'...
Per definizione, la \(f^*\) è definita mediante la relazione:
\[
\langle \mathbf{w}, f^*\mathbf{v}\rangle := \langle \mathbf{v},f\mathbf{w}\rangle\; ;
\]
dette \(A\) ed \(A^*\) le matrici di \(f\) ed \(f^*\) e \(D\) la matrice associata al prodotto scalare, hai:
\[
\mathbf{w}^T (DA^*)\mathbf{v}= \mathbf{w}^T D(A^*\mathbf{v}) = \mathbf{v}^T D (A\mathbf{w})=\mathbf{v}^T (D A)\mathbf{w}
\]
cosicché \(DA^*\) è la matrice \(M^*\) associata all'aggiunto dell'operatore individuato dalla matrice \(M:=DA\) rispetto al prodotto scalare standard.
Conseguentemente \(M^*=M^T\) e perciò \(DA^*=A^TD^T=A^T D\) (perché \(D\) è simmetrica), da cui segue \(A^*=D^{-1}A^TD\).
Prova a fare un po' i conti e vedi se ti ci ritrovi.
Per definizione, la \(f^*\) è definita mediante la relazione:
\[
\langle \mathbf{w}, f^*\mathbf{v}\rangle := \langle \mathbf{v},f\mathbf{w}\rangle\; ;
\]
dette \(A\) ed \(A^*\) le matrici di \(f\) ed \(f^*\) e \(D\) la matrice associata al prodotto scalare, hai:
\[
\mathbf{w}^T (DA^*)\mathbf{v}= \mathbf{w}^T D(A^*\mathbf{v}) = \mathbf{v}^T D (A\mathbf{w})=\mathbf{v}^T (D A)\mathbf{w}
\]
cosicché \(DA^*\) è la matrice \(M^*\) associata all'aggiunto dell'operatore individuato dalla matrice \(M:=DA\) rispetto al prodotto scalare standard.
Conseguentemente \(M^*=M^T\) e perciò \(DA^*=A^TD^T=A^T D\) (perché \(D\) è simmetrica), da cui segue \(A^*=D^{-1}A^TD\).
Prova a fare un po' i conti e vedi se ti ci ritrovi.
ok, grazie
quindi ... vediamo se ho capito ...
la matrice A sarebbe $((4,2,0),(-3,3,0),(0,0,0))$
di conseguenza la sua trasposta, ovvero $A^T$ è $((4,-3,0),(2,3,0),(0,0,0))$
invece D è $((2,1,0),(1,5,0),(0,0,1))$
ora devo trovare A* = $D^(-1) A^T$ D
domanda: A* ha sulla diagonale gli autovalori di $A^T$ ??? oppure devo trovare l'inversa di D e poi trovare A* ???
quindi ... vediamo se ho capito ...
la matrice A sarebbe $((4,2,0),(-3,3,0),(0,0,0))$
di conseguenza la sua trasposta, ovvero $A^T$ è $((4,-3,0),(2,3,0),(0,0,0))$
invece D è $((2,1,0),(1,5,0),(0,0,1))$
ora devo trovare A* = $D^(-1) A^T$ D
domanda: A* ha sulla diagonale gli autovalori di $A^T$ ??? oppure devo trovare l'inversa di D e poi trovare A* ???
"kika_17":
ok, grazie
quindi ... vediamo se ho capito ...
la matrice A sarebbe $((4,2,0),(-3,3,0),(0,0,0))$
di conseguenza la sua trasposta, ovvero $A^T$ è $((4,-3,0),(2,3,0),(0,0,0))$
invece D è $((2,1,0),(1,5,0),(0,0,1))$
ora devo trovare A* = $D^(-1) A^T$ D
Certo... Vedi un po' che viene e prova a verificare il risultato.
"kika_17":
domanda: A* ha sulla diagonale gli autovalori di $A^T$ ???
Perché dovrebbe?
"kika_17":
oppure devo trovare l'inversa di D e poi trovare A* ???
Beh, se usi la formula di cui sopra, ti serve necessariamente invertire \(D\) per conoscere \(A^*\).
ok, grazie
ho ottenuto ...
$D^(-1) = 1/9 ((5,-1,0),(-1,2,0),(0,0,9))$
moltiplicando le tre matrici mi viene:
A* = $((2,-8,0),(1,5,0),(0,0,0))$
è giusto?
Scusa l'ignoranza, ma quando dice "Determinare f* $((1),(3),(1))$ " io devo trovare la matrice A* che è associata all'aggiunto? e il vettore (1,3,1) quindi non serve?
Grazie per la pazienza
ho ottenuto ...
$D^(-1) = 1/9 ((5,-1,0),(-1,2,0),(0,0,9))$
moltiplicando le tre matrici mi viene:
A* = $((2,-8,0),(1,5,0),(0,0,0))$
è giusto?
Scusa l'ignoranza, ma quando dice "Determinare f* $((1),(3),(1))$ " io devo trovare la matrice A* che è associata all'aggiunto? e il vettore (1,3,1) quindi non serve?
Grazie per la pazienza
Determinare \(f^*(1,3,1)\) significa calcolare l'immagine di \((1,3,1)\) mediante \(f^*\).
Dato che \(f^*\) ha associata la matrice \(A^*\), il calcolo si fa prendendo il prodotto riga colonna, no?
Dato che \(f^*\) ha associata la matrice \(A^*\), il calcolo si fa prendendo il prodotto riga colonna, no?
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah ..... quindi
(1,3,1) $((2,-8,0),(1,5,0),(0,0,0))$ = $((5),(7),(0))$
giusto?
(1,3,1) $((2,-8,0),(1,5,0),(0,0,0))$ = $((5),(7),(0))$
giusto?
Il prodotto va fatto a destra, poiché \(f^*(\mathbf{v})=A^*\mathbf{v}\); quindi:
\[
\begin{pmatrix} 2 & -8 & 0 \\ 1 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 1\end{pmatrix}\ldots
\]
\[
\begin{pmatrix} 2 & -8 & 0 \\ 1 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 1\end{pmatrix}\ldots
\]
ooooops 
quindi ottengo $((-22),(16),(0))$
giusto??
GRAZIE MILLE PER LA SPIEGAZIONE E LA PAZIENZA GRAZIE !!!
quindi ottengo $((-22),(16),(0))$
giusto??
GRAZIE MILLE PER LA SPIEGAZIONE E LA PAZIENZA
GRAZIE !!!
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