Affinita': Individuare Coordinate di un punto
Salve mi aiutereste con questo esercizio?
Sia $P=[1,1]$ e $\phi$ l'affinità che trasforma le rette:
$x+y=1$, $x=0$, $y=0$
rispettivamente in:
$X-Y+2=0$, $-3X+Y+2=0$, $X-3Y+2=0$.
Individuare le coordinate del punto $\phi$ $(P)$.
Non saprei proprio come svolgerlo... Non so se dovrei scrivermi la matrice associata e fare il cambiamento di base ecc ... Gentilmente mi potreste aiutare? Ve ne sarei grato
Sia $P=[1,1]$ e $\phi$ l'affinità che trasforma le rette:
$x+y=1$, $x=0$, $y=0$
rispettivamente in:
$X-Y+2=0$, $-3X+Y+2=0$, $X-3Y+2=0$.
Individuare le coordinate del punto $\phi$ $(P)$.
Non saprei proprio come svolgerlo... Non so se dovrei scrivermi la matrice associata e fare il cambiamento di base ecc ... Gentilmente mi potreste aiutare? Ve ne sarei grato
Risposte
Innanzitutto tu stai cercando una mappa affine da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ che è della forma
\[
\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{bmatrix}
\]
che trasformi le rette che dice l'esercizio. Noi dobbiamo trovare le sei incognite $a_{ij}$ e $b_i$.
Sappiamo che
\[
\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\
a_{21}x+a_{22}y+b_2
\end{bmatrix},
\]
dunque $X=a_{11}x+a_{12}y+b_1$ e $Y=a_{21}x+a_{22}y+b_2$. Quindi la prima equazione (cioè $X-Y+2=0$) diventa
\[
a_{11}x+a_{12}y+b_1-(a_{21}x+a_{22}y+b_2)+2=0\Leftrightarrow (a_{11}-a_{21})x+(a_{12}-a_{22})y+(b_1-b_2+2)=0.
\]
Dato che questa è la trasformazione della retta $x+y=1$, ovvero $x+y-1=0$, dobbiamo uguagliare il coefficiente della $x$, quello della $y$ e il termine noto. Dobbiamo però prima osservare che la retta $x+y-1=0$ è anche la retta $2x+2y-2=0$, o $3x+3y-3=0$ etc... Dunque dobbiamo considerare l'equazione della retta $k_1x+k_1y-k_1=0$, e solo adesso possiamo uguagliare i coefficienti:
$ { ( a_{11}-a_{21}=k_1 ),( a_{12}-a_{22}=k_1 ),( b_1-b_2+2=-k_1 ):} $
Facciamo la stessa cosa con la seconda retta ($-3X+Y+2=0$):
\[
-3(a_{11}x+a_{12}y+b_1)+a_{21}x+a_{22}y+b_2+2=0\Leftrightarrow \\
(a_{21}-3a_{11})x+(a_{22}-3a_{12})y+(b_2-3b_1+2)=0.
\]
Anche qui, questa è la trasformazione della retta $x=0$, o meglio $k_2x=0$, quindi uguagliando i coefficienti otteniamo
$ { ( a_{21}-3a_{11}=k_2 ),( a_{22}-3a_{12}=0 ),( b_2-3b_1+2=0 ):} $.
Da questo sistema e da quello precedente ricaviamo i tre sistemi
$ { ( a_{11}-a_{21}=k_1 ),( a_{21}-3a_{11}=k_2 ):} $ $ { ( a_{12}-a_{22}=k_1 ),( a_{22}-3a_{12}=0 ):} $ $ { ( b_1-b_2+2=-k_1 ),( b_2-3b_1+2=0 ):} $
Risolvendoli ottieni $a_{11}=-\frac{k_1+k_2}{2}$, $a_{21}=-\frac{3k_1+k_2}{2}$, $a_{12}=-\frac{k_1}{2}$, $a_{22}=-\frac{3}{2}k_1$, $b_1=\frac{k_1+4}{2}$ e $b_2=\frac{3k_1+8}{2}$. Bene! Da sei incognite, siamo passati a tre ($k_1$, $k_2$ e $k_3$; $k_3$ non è ancora comparso ma comparirà tra poco).
Usiamo ora la trasformazione della terza retta per trovare i $k_i$; l'equazione dell'ultima retta è $X-3Y+2=0$, dunque
\[
a_{11}x+a_{12}y+b_1-3(a_{21}x+a_{22}y+b_2)+2=0\Leftrightarrow \\
(a_{11}-3a_{21})x+(a_{12}-3a_{22})y+(b_1-3b_2+2)=0;
\]
questa è la trasformazione della retta $k_3y=0$, dunque otteniamo il sistema
$ { ( a_{11}-3a_{21}=0 ),( a_{12}-3a_{22}=k_3 ),( b_1-3b_2+2=0 ):} $, in cui però possiamo sostituire gli $a_{ij}$ e i $b_i$:
$ { ( -\frac{k_1+k_2}{2}-3(-\frac{3k_1+k_2}{2})=0 ),( -\frac{k_1}{2}-3(-\frac{3}{2}k_1)=k_3 ),( \frac{k_1+4}{2}-3\frac{3k_1+8}{2}+2=0 ):} $
Ti risparmio i conti: risulta $k_1=-2$, $k_2=8$ e $k_3=-8$, dunque $a_11=-3$, $a_{21}=-1$, $a_{12}=1$, $a_{22}=3$, $b_1=1$ e $b_2=1$. Dunque la trasformazione affine che stavamo cercando è
\[
\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix},
\]
che applicata al punto $P$ ti dà
\[
\phi(P)=
\begin{bmatrix}
-1 \\
3
\end{bmatrix}.
\]
\[
\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{bmatrix}
\]
che trasformi le rette che dice l'esercizio. Noi dobbiamo trovare le sei incognite $a_{ij}$ e $b_i$.
Sappiamo che
\[
\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\
a_{21}x+a_{22}y+b_2
\end{bmatrix},
\]
dunque $X=a_{11}x+a_{12}y+b_1$ e $Y=a_{21}x+a_{22}y+b_2$. Quindi la prima equazione (cioè $X-Y+2=0$) diventa
\[
a_{11}x+a_{12}y+b_1-(a_{21}x+a_{22}y+b_2)+2=0\Leftrightarrow (a_{11}-a_{21})x+(a_{12}-a_{22})y+(b_1-b_2+2)=0.
\]
Dato che questa è la trasformazione della retta $x+y=1$, ovvero $x+y-1=0$, dobbiamo uguagliare il coefficiente della $x$, quello della $y$ e il termine noto. Dobbiamo però prima osservare che la retta $x+y-1=0$ è anche la retta $2x+2y-2=0$, o $3x+3y-3=0$ etc... Dunque dobbiamo considerare l'equazione della retta $k_1x+k_1y-k_1=0$, e solo adesso possiamo uguagliare i coefficienti:
$ { ( a_{11}-a_{21}=k_1 ),( a_{12}-a_{22}=k_1 ),( b_1-b_2+2=-k_1 ):} $
Facciamo la stessa cosa con la seconda retta ($-3X+Y+2=0$):
\[
-3(a_{11}x+a_{12}y+b_1)+a_{21}x+a_{22}y+b_2+2=0\Leftrightarrow \\
(a_{21}-3a_{11})x+(a_{22}-3a_{12})y+(b_2-3b_1+2)=0.
\]
Anche qui, questa è la trasformazione della retta $x=0$, o meglio $k_2x=0$, quindi uguagliando i coefficienti otteniamo
$ { ( a_{21}-3a_{11}=k_2 ),( a_{22}-3a_{12}=0 ),( b_2-3b_1+2=0 ):} $.
Da questo sistema e da quello precedente ricaviamo i tre sistemi
$ { ( a_{11}-a_{21}=k_1 ),( a_{21}-3a_{11}=k_2 ):} $ $ { ( a_{12}-a_{22}=k_1 ),( a_{22}-3a_{12}=0 ):} $ $ { ( b_1-b_2+2=-k_1 ),( b_2-3b_1+2=0 ):} $
Risolvendoli ottieni $a_{11}=-\frac{k_1+k_2}{2}$, $a_{21}=-\frac{3k_1+k_2}{2}$, $a_{12}=-\frac{k_1}{2}$, $a_{22}=-\frac{3}{2}k_1$, $b_1=\frac{k_1+4}{2}$ e $b_2=\frac{3k_1+8}{2}$. Bene! Da sei incognite, siamo passati a tre ($k_1$, $k_2$ e $k_3$; $k_3$ non è ancora comparso ma comparirà tra poco).
Usiamo ora la trasformazione della terza retta per trovare i $k_i$; l'equazione dell'ultima retta è $X-3Y+2=0$, dunque
\[
a_{11}x+a_{12}y+b_1-3(a_{21}x+a_{22}y+b_2)+2=0\Leftrightarrow \\
(a_{11}-3a_{21})x+(a_{12}-3a_{22})y+(b_1-3b_2+2)=0;
\]
questa è la trasformazione della retta $k_3y=0$, dunque otteniamo il sistema
$ { ( a_{11}-3a_{21}=0 ),( a_{12}-3a_{22}=k_3 ),( b_1-3b_2+2=0 ):} $, in cui però possiamo sostituire gli $a_{ij}$ e i $b_i$:
$ { ( -\frac{k_1+k_2}{2}-3(-\frac{3k_1+k_2}{2})=0 ),( -\frac{k_1}{2}-3(-\frac{3}{2}k_1)=k_3 ),( \frac{k_1+4}{2}-3\frac{3k_1+8}{2}+2=0 ):} $
Ti risparmio i conti: risulta $k_1=-2$, $k_2=8$ e $k_3=-8$, dunque $a_11=-3$, $a_{21}=-1$, $a_{12}=1$, $a_{22}=3$, $b_1=1$ e $b_2=1$. Dunque la trasformazione affine che stavamo cercando è
\[
\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix},
\]
che applicata al punto $P$ ti dà
\[
\phi(P)=
\begin{bmatrix}
-1 \\
3
\end{bmatrix}.
\]
"billyballo2123":
Ti risparmio i conti:
Tutto perfetto (tranne la svista $ b_2=2 $ alla fine), però i calcoli si possono anche risparmiare sfruttando gli zeri che rendono inutili le $ k $. Partendo dalle ultime due rette si ottiene $ a_{22]=3a_{12}, a_{11}=3a_ {21}, b_1=1, b_2=1 $.
A questo punto la prima retta porta a $ a_{12}=1, a_{21}=-1 $.
Ciao
B.
Semplice, chiaro ed esaustivo. L'unica cosa che non mi è chiaro è in questo passaggio:
$ { ( a_{11}-3a_{21}=0 ),( a_{12}-3a_{22}=k_3 ),( b_1-3b_2+2=0 ):} $, in cui però possiamo sostituire gli $a_{ij}$ e i $b_i$:
$ { ( -\frac{k_1+k_2}{2}-3(-\frac{3k_1+k_2}{2})=0 ),( -\frac{k_1}{2}-3(-\frac{3}{2}k_1)=k_3 ),( \frac{k_1+4}{2}-3\frac{3k_1+8}{2}=0 ):} $
Nella terza equazione del sistema (quella dei termini noti per intenderci) il +2 lo hai dimenticato o è una cosa voluta?
Lasciando il 2 io ottengo:
$k_1=-2$
$k_2=8$
$k_3=-2$
$a_11=-3$
$a_12=1$
$a_21=-1$
$a_22=3$
E $\phi(P)=[1/4,-1/4]$
È corretto?
$ { ( a_{11}-3a_{21}=0 ),( a_{12}-3a_{22}=k_3 ),( b_1-3b_2+2=0 ):} $, in cui però possiamo sostituire gli $a_{ij}$ e i $b_i$:
$ { ( -\frac{k_1+k_2}{2}-3(-\frac{3k_1+k_2}{2})=0 ),( -\frac{k_1}{2}-3(-\frac{3}{2}k_1)=k_3 ),( \frac{k_1+4}{2}-3\frac{3k_1+8}{2}=0 ):} $
Nella terza equazione del sistema (quella dei termini noti per intenderci) il +2 lo hai dimenticato o è una cosa voluta?
Lasciando il 2 io ottengo:
$k_1=-2$
$k_2=8$
$k_3=-2$
$a_11=-3$
$a_12=1$
$a_21=-1$
$a_22=3$
E $\phi(P)=[1/4,-1/4]$
È corretto?
"alexdr":
Lasciando il 2 io ottengo:
$k_1=-2$
$k_2=8$
$k_3=-2$
Si in effetti mi sono dimenticato il $+2$ nella terza equazione (ora lo correggo). Comunque nella terza equazione non compare $k_3$, quindi non mi torna che ti risulti lo stesso $k_1$ ma un $k_3$ diverso...
"orsoulx":
Tutto perfetto (tranne la svista $ b_2=2 $ alla fine)
Ops... correggo subito
Ops ho sbagliato a trascrivere $k_3$ mi viene 4.
Non capisco alla fine per ricavare $\phi(P)$
In quanto, non so se faccio giusto...
$ { (-3x+y+1=0),(-x+3y+1=0):} $
$ { (x=(y+1)/3),(-y-1+9y+3=0):} $
Da cui trovo:
$x=1/4$ e $y=-1/4$
Invece di zero dovrei eguagliarli alle coordinate del punto P? Ovvero X=1 e Y=1? Perché in questo modo mi risulterebbe $\phi(P)=[0,0]$
Non capisco alla fine per ricavare $\phi(P)$
In quanto, non so se faccio giusto...
$ { (-3x+y+1=0),(-x+3y+1=0):} $
$ { (x=(y+1)/3),(-y-1+9y+3=0):} $
Da cui trovo:
$x=1/4$ e $y=-1/4$
Invece di zero dovrei eguagliarli alle coordinate del punto P? Ovvero X=1 e Y=1? Perché in questo modo mi risulterebbe $\phi(P)=[0,0]$
"alexdr":
Ops ho sbagliato a trascrivere $ k_3 $ mi viene 4.
Ma $k_3=-8$: dato che $k_1=-2$, allora
\[
-\frac{k_1}{2}-3\bigg(-\frac{3}{2}k_1\bigg)=k_3 \\
-\frac{k_1}{2}+\frac{9}{2}k_1=k_3 \\
\frac{8}{2}k_1=k_3 \\
4(-2)=k_3 \\
k_3=-8.
\]
Inoltre per calcolare $\phi(P)$ devi fare così:
\[
\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
\]
quindi se $P=(x,y)=(1,1)$, allora
\[
\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 \\
3
\end{bmatrix}.
\]
Dunque $\phi(P)=(X,Y)=(-1,3)$.
Grazie
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