Affinità e proiettività
Avrei dei dubbi, vorrei se possibile delle illuminazioni;)
1. Affinità e proiettività sono entrambe delle applicazioni biunivoche?
2. Sia $V$ uno spazio vettoriale rispettivamente tali applicazioni aventi come sostegno $V$ inducono alle strutture di spazio affine e spazio proiettivo?
Viene prima l'uovo o la galliana? cioè tali applicazioni su un adeguato sostegno inducono la struttura, o lo spazio indipendentemente dalle applicazioni determinano quel tipo di struttura.
Grazie e a presto.
1. Affinità e proiettività sono entrambe delle applicazioni biunivoche?
2. Sia $V$ uno spazio vettoriale rispettivamente tali applicazioni aventi come sostegno $V$ inducono alle strutture di spazio affine e spazio proiettivo?
Viene prima l'uovo o la galliana? cioè tali applicazioni su un adeguato sostegno inducono la struttura, o lo spazio indipendentemente dalle applicazioni determinano quel tipo di struttura.
Grazie e a presto.
Risposte
"squalllionheart":
1. Affinità e proiettività sono entrambe delle applicazioni biunivoche?
Si.
"squalllionheart":
2. Sia $V$ uno spazio vettoriale rispettivamente tali applicazioni aventi come sostegno $V$ inducono alle strutture di spazio affine e spazio proiettivo?
Cosa intendi per sostegno? Per me esso è il sottospazio vettoriale associato ad un elemento nello Spazio Proiettivo...
esatto quello. Le due cose si equivalgono?Cioè se ho uno spazio vettoriale con una affinità ho uno spazio affine analogamente se ho uno spazio affine posso definire un'affinità?
Grazie per la pazienza ma sono dei concetti del tutto nuovi.
P.s.
Mi dici il tag per le citazioni
Grazie per la pazienza ma sono dei concetti del tutto nuovi.
P.s.
Mi dici il tag per le citazioni
"squalllionheart":
2. Sia $V$ uno spazio vettoriale rispettivamente tali applicazioni aventi come sostegno $V$ inducono alle strutture di spazio affine e spazio proiettivo?
Viene prima l'uovo o la galliana? cioè tali applicazioni su un adeguato sostegno inducono la struttura, o lo spazio indipendentemente dalle applicazioni determinano quel tipo di struttura.
Non che abbia ben capito le tue domande: che io sappia affinità e proiettività non dotano spazi di strutture canoniche... affinità e proiettività sono semplicemente gli isomorfismi tra (rispettivamente) spazi affini e tra spazi proiettivi. Come gli isomorfismi lineari sono gli isomorfismi di spazi vettoriali.
E per esempio un isomorfismo lineare non struttura canonicamente un dato spazio vettoriale. No?
ok. Mi spieghi due cose.
1) come si citano le frasi degli altri.
2) La differenza tra uno spazio vettoriale ordinario e un benedetto spazio affine è chegli oggetti del primo sono vettori e quello del secondo oggetti numerici. COnfido in te e nelle tue immense conoscenze.
1) come si citano le frasi degli altri.
2) La differenza tra uno spazio vettoriale ordinario e un benedetto spazio affine è chegli oggetti del primo sono vettori e quello del secondo oggetti numerici. COnfido in te e nelle tue immense conoscenze.
"squalllionheart":
1) come si citano le frasi degli altri.
Cliccando il tastino "riporta" in alto a destra l'intervento.
(e poi modificando ad uopo)
2) La differenza tra uno spazio vettoriale ordinario e un benedetto spazio affine è chegli oggetti del primo sono vettori e quello del secondo oggetti numerici.
Non esattamente.
La differenza è sostanziale: uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano con + dotato di un'azione compatibile di un certo campo $k$ (detta "moltiplicazione per scalare"). Uno spazio affine è un insieme dotato di un'azione fedele di un dato spazio vettoriale (detta "traslazione").
Insomma, uno spazio vettoriale è formato di vettori che puoi "allungare", uno spazio affine è formato di punti che puoi "traslare".
Quindi come vedi non solo sono due cose diverse, ma non sono nemmeno confrontabili.
Ma era questo che volevi sapere?
"Martino":
La differenza è sostanziale: uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano con + dotato di un'azione compatibile di un certo campo k (detta "moltiplicazione per scalare"). Uno spazio affine è un insieme dotato di un'azione fedele di un dato spazio vettoriale (detta "traslazione").
Insomma, uno spazio vettoriale è formato di vettori che puoi "allungare", uno spazio affine è formato di punti che puoi "traslare".
I penso ai vettori come un insieme ordinato di punti, è forviante?Dovrei pensarli come oggetti distinti?
La retta e il piano posso pensarli come un insieme di punti sia nel coso proiettivo che affine come accadeva nel caso euclideo?
La definizione che mi è stata data è http://www.mat.uniroma2.it/~tovena/cap1-4.pdf pagina 7, non credi che sia un pò ambigua? Cmq come sei al solito sei sintetico e illuminante
Approfittando della tua benevolenza ti domando qualcosa sullo spazio proiettivo, come quello affine è formato da punti le cui coordinate, coordinate omogenee sono individuate a meno di una costante. Possiamo pensare allo spazio proiettivo come uno spazio affine con l'aggiunta dei punti impropri si parla infatti di completamento della retta e del piano affine reale. Che danno la direzione.
Come non ha senso parlare del punto $P[0,0,0,0,0]$ anche nel caso affine accade qualcosa di analogo?
Vorrei sapere è sbagliato pensare al disegno prospettico riguardo riguardo questo argomento.
Grazie a presto.
"squalllionheart":
I penso ai vettori come un insieme ordinato di punti, è forviante?Dovrei pensarli come oggetti distinti?
La retta e il piano posso pensarli come un insieme di punti sia nel coso proiettivo che affine come accadeva nel caso euclideo?
Boh, dipende da cosa devi fare
Io continuerei a pensare i vettori come freccette o sequenze di numeri, e retta e piano come insiemi di punti. L'importante è avere sempre in testa le definizioni vere.
La definizione che mi è stata data è http://www.mat.uniroma2.it/~tovena/cap1-4.pdf pagina 7, non credi che sia un pò ambigua?
Si dimostra facilmente che è equivalente a quella che ti ho dato io.
Approfittando della tua benevolenza ti domando qualcosa sullo spazio proiettivo, come quello affine è formato da punti le cui coordinate, coordinate omogenee sono individuate a meno di una costante. Possiamo pensare allo spazio proiettivo come uno spazio affine con l'aggiunta dei punti impropri si parla infatti di completamento della retta e del piano affine reale. Che danno la direzione.
Come non ha senso parlare del punto $P[0,0,0,0,0]$ anche nel caso affine accade qualcosa di analogo?
Vorrei sapere è sbagliato pensare al disegno prospettico riguardo riguardo questo argomento.
Come prima, non capisco i tuoi dubbi
Io direi che ci mettiamo nello spazio proiettivo P, lì scegliamo un iperpiano H. Allora succede che la differenza insiemistica P-H ha una naturale struttura di spazio affine, dove H è opportunamente identificato allo spazio delle traslazioni.
Il vuoto proiettivo (cioè quello che tu chiami $P[0,0,0,0,0]$) appartiene ad ogni iperpiano, quindi quando togli un iperpiano togli il vuoto proiettivo, che quindi non compare nello spazio affine che ottieni.
Puoi pensare al disegno prospettico: la linea dell'orizzonte è l'infinito (cioè l'iperpiano che hai tolto).
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