Affinità

[ride2]

ho la seguente parabola $x+y+xy=0$. devo determinare l'affinità $\phi$ tale che $\phi(\gamma)$ abbia equazione $x+y+xy+2=0$. come procedo??

[vittorino70]

Si tratta di iperboli, non di parabole. Graficando le due funzioni ( vedi figura allegata) si nota che i due grafici sono simmetrici rispetto alla retta di equazione \(\displaystyle y=-1 \). Pertanto, senza dover fare troppi calcoli, si può dire che la trasformazione cercata è una simmetria assiale ( che è una particolare affinità nel piano) avente per asse la retta \(\displaystyle y=-1 \)
Le equazioni di tale affinità sono :
\(\displaystyle \begin{cases}x=x'\\y=-y'-2 \end{cases} \)

[gio73]

Ciao Vittorino,
spero di poter interagire con te senza difficoltà.
Vedo che la geometria ti appassiona e vorrei che controllassi le mie affermazioni: faccio spesso parecchia confusione.
L'equazione della curva $gamma$: $x+y+xy=0$ la possiamo vedere come una traslazione dell'iperbole $xy=1$?
Mi spiego: facciamo scedere la curva di 1 e la spostiamo verso sinistra di 1?
Alternativamente alziamo l'asse delle ascisse di 1 e spostiamo verso destra di 1 l'asse delle ordinate.
Scrivo bene se scrivo così?
$xy=1$ iperbole equilatera con asintoti coincidenti con gli assi coordinati
trasformazione
$x=x'+1$
$y=y'+1$
nuova equazione
$(x'+1)(y'+1)=1$
$x'y'+x'+y'+1=1$
$x'y'+x'+y'=0$
adesso riconosco
$xy+x+y=0$
gli asintoti ora non sono più gli assi coordinati ma due rette di equazioni rispettivamente
$x=-1$ e $y=-1$

Fino qui ci sono?
Grazie per la tua attenzione.