$AB=BA$ diagonalizzabili $=>$ stessi autovettori
Ciao, amici! Leggo sullo Strang, Algebra lineare, che matrici diagonalizzabili condividono la stessa matrice degli autovettori se e solo se sono commutabili, ma dimostra il "se" solamente per il caso di autovalori tutti distinti. 
Ho cercato in Internet e trovo una dimostrazione qua, ma non mi è affatto chiaro come si possa stabilire che la matrice $C$ sia diagonalizzabile, nella forma $DCD^{-1}=Q$. La matrice $C$ è ovviamente la matrice che ha per righe le coordinate di $B\mathbf{x}$ nella base dell'autospazio \(\{\mathbf{x}_1,...,\mathbf{x}_k\}\) di $V_\lambda (A)$, ma come faccio a sapere che è diagonalizzabile?
Grazie di cuore a chiunque vorrà intervenire!
Ho cercato in Internet e trovo una dimostrazione qua, ma non mi è affatto chiaro come si possa stabilire che la matrice $C$ sia diagonalizzabile, nella forma $DCD^{-1}=Q$. La matrice $C$ è ovviamente la matrice che ha per righe le coordinate di $B\mathbf{x}$ nella base dell'autospazio \(\{\mathbf{x}_1,...,\mathbf{x}_k\}\) di $V_\lambda (A)$, ma come faccio a sapere che è diagonalizzabile?
Grazie di cuore a chiunque vorrà intervenire!
Risposte
Siano $A$ e $B$ due matrici diagonalizzabili $n\times n$. Allora esiste
una base che consiste di vettori che sono autovettori sia di $A$ che di $B$.
Dimostrazione: Sia $k$ un campo che contiene le coordinate di $A$ e $B$ e
sia $V=k^n$. Lo spazio $V$ essendo prodotto di autospazi di $A$, e' un modulo
sull'anello $R=k[X]$/$(f)$, con $f =\prod_{\lambda}(X-\lambda)$. Qua $\lambda$ varia fra gli autovalori di $A$
e $X$ agisce via moltiplicazione per $A$
Per il teorema cinese del resto, $R$ e' prodotto di copie di $k$, una per ogni $\lambda$.
Ogni $R$-modulo $W$ e' quindi prodotto di $k$-spazi vettoriali $W_{\lambda}$
con azione di $X$ data dalla moltiplicazione per $\lambda$.
In altre parole, la matrice che descrive l'azione
di $X$ su $W$ e' sempre diagonalizzabile.
Il fatto che $A$ e $B$ commutano implica che ogni autospazio $W$ di $B$ e' un
$R$-sottomodulo di $V$. Il risultato segue adesso dal fatto che $B$ e' diagonalizzabile.
una base che consiste di vettori che sono autovettori sia di $A$ che di $B$.
Dimostrazione: Sia $k$ un campo che contiene le coordinate di $A$ e $B$ e
sia $V=k^n$. Lo spazio $V$ essendo prodotto di autospazi di $A$, e' un modulo
sull'anello $R=k[X]$/$(f)$, con $f =\prod_{\lambda}(X-\lambda)$. Qua $\lambda$ varia fra gli autovalori di $A$
e $X$ agisce via moltiplicazione per $A$
Per il teorema cinese del resto, $R$ e' prodotto di copie di $k$, una per ogni $\lambda$.
Ogni $R$-modulo $W$ e' quindi prodotto di $k$-spazi vettoriali $W_{\lambda}$
con azione di $X$ data dalla moltiplicazione per $\lambda$.
In altre parole, la matrice che descrive l'azione
di $X$ su $W$ e' sempre diagonalizzabile.
Il fatto che $A$ e $B$ commutano implica che ogni autospazio $W$ di $B$ e' un
$R$-sottomodulo di $V$. Il risultato segue adesso dal fatto che $B$ e' diagonalizzabile.
Dankeschön, Ludwig! 
Mi sa che devo approfondire un po' di algebra per questa dimostrazione. In quella che avevo trovato si utilizza questa matrice $C$, ma non vedo perché si debba dare per scontato che è diagonalizzabile nella forma $C=D^-1 Q D$...
Grazie di cuore ancora a te e a chiunque altro voglia partecipare!
Mi sa che devo approfondire un po' di algebra per questa dimostrazione. In quella che avevo trovato si utilizza questa matrice $C$, ma non vedo perché si debba dare per scontato che è diagonalizzabile nella forma $C=D^-1 Q D$...Grazie di cuore ancora a te e a chiunque altro voglia partecipare!
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