A^2=I evitare alcuni calcoli
Ciao a tutti... ho un esercizio che chiede di trovare una matrice A 3x3 tale che
[tex]\mathcal{L}_a\left(\begin{matrix} 1\\1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2\\2\\1\end{matrix}\right)[/tex]
[tex]\mathcal{L}_a\left(\begin{matrix} 2\\2\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1\\1\\1\end{matrix}\right)[/tex]
[tex]\mathcal{L}_a\left(\begin{matrix} 0\\1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0\\1\\1\end{matrix}\right)[/tex]
io ho pensato che
[tex]A\left(\begin{matrix} 1&2&0\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\2&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)[/tex]
da cui
[tex]A=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\2&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1&2&0\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right)^\(-1\)[/tex]
e fin qui credo sia giusto (accolgo comunque commenti e correzioni, domande) ora il problema è che dopo l'esercizio chiede di provare che
[tex]A^2=I[/tex]
il professore non vuole che ci mettiamo a fare troppi conti durante il compito (anche perchè non ci mette molto tempo a disposizione)
e di solito considera terminata la prima richiesta quando gli presentiamo A nella forma
[tex]A=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\2&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1&2&0\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right)^\(-1\)[/tex]
senza svolgere i conti.
la mia domanda è ....è possibile provare che [tex]A^2=I[/tex] senza calcolarsi tutti gli elementi di A?
[tex]\mathcal{L}_a\left(\begin{matrix} 1\\1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2\\2\\1\end{matrix}\right)[/tex]
[tex]\mathcal{L}_a\left(\begin{matrix} 2\\2\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1\\1\\1\end{matrix}\right)[/tex]
[tex]\mathcal{L}_a\left(\begin{matrix} 0\\1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0\\1\\1\end{matrix}\right)[/tex]
io ho pensato che
[tex]A\left(\begin{matrix} 1&2&0\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\2&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)[/tex]
da cui
[tex]A=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\2&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1&2&0\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right)^\(-1\)[/tex]
e fin qui credo sia giusto (accolgo comunque commenti e correzioni, domande) ora il problema è che dopo l'esercizio chiede di provare che
[tex]A^2=I[/tex]
il professore non vuole che ci mettiamo a fare troppi conti durante il compito (anche perchè non ci mette molto tempo a disposizione)
e di solito considera terminata la prima richiesta quando gli presentiamo A nella forma
[tex]A=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\2&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1&2&0\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right)^\(-1\)[/tex]
senza svolgere i conti.
la mia domanda è ....è possibile provare che [tex]A^2=I[/tex] senza calcolarsi tutti gli elementi di A?
Risposte
La matrice $A$ dovrebbe essere giusta.
$A^2$ è una matrice $3\times 3$ e come tale definisce un endomorfismo di $RR^3$.
Vediamo come agisce questo endomorfismo sui vettori della base $((1),(1),(1)),((2),(2),(1)),((0),(1),(1))$ di $RR^3$.
$A^2((1),(1),(1))=A((2),(2),(1))=((1),(1),(1))$
$A^2((2),(2),(1))=A((1),(1),(1))=((2),(2),(1))$
$A^2((0),(1),(1))=A((0),(1),(1))=((0),(1),(1))$
Quindi a cosa corrisponde l'endomorfismo di $RR^3$ definito da $A^2$? E perchè? Dalla risposta a queste domande deduci facilmente che $A^2=I$.
Naturalmente se ci sono dubbi, chiedi pure.
Edit: Ho modificato il mio post, prima avevo dato la soluzione. Ora ho cercato di dare solo un suggerimento.
$A^2$ è una matrice $3\times 3$ e come tale definisce un endomorfismo di $RR^3$.
Vediamo come agisce questo endomorfismo sui vettori della base $((1),(1),(1)),((2),(2),(1)),((0),(1),(1))$ di $RR^3$.
$A^2((1),(1),(1))=A((2),(2),(1))=((1),(1),(1))$
$A^2((2),(2),(1))=A((1),(1),(1))=((2),(2),(1))$
$A^2((0),(1),(1))=A((0),(1),(1))=((0),(1),(1))$
Quindi a cosa corrisponde l'endomorfismo di $RR^3$ definito da $A^2$? E perchè? Dalla risposta a queste domande deduci facilmente che $A^2=I$.
Naturalmente se ci sono dubbi, chiedi pure.
Edit: Ho modificato il mio post, prima avevo dato la soluzione. Ora ho cercato di dare solo un suggerimento.
Ciao...grazie mille...sono piccole considerazioni che spesso mi sfuggono, ancora una volta sei stato di grande aiuto..capito tutto
Prego! Lieto di esserti stato utile
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