A^2=I evitare alcuni calcoli

Mire_90
Ciao a tutti... ho un esercizio che chiede di trovare una matrice A 3x3 tale che
[tex]\mathcal{L}_a\left(\begin{matrix} 1\\1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2\\2\\1\end{matrix}\right)[/tex]
[tex]\mathcal{L}_a\left(\begin{matrix} 2\\2\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1\\1\\1\end{matrix}\right)[/tex]
[tex]\mathcal{L}_a\left(\begin{matrix} 0\\1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0\\1\\1\end{matrix}\right)[/tex]

io ho pensato che
[tex]A\left(\begin{matrix} 1&2&0\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\2&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)[/tex]
da cui
[tex]A=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\2&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1&2&0\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right)^\(-1\)[/tex]

e fin qui credo sia giusto (accolgo comunque commenti e correzioni, domande) ora il problema è che dopo l'esercizio chiede di provare che
[tex]A^2=I[/tex]
il professore non vuole che ci mettiamo a fare troppi conti durante il compito (anche perchè non ci mette molto tempo a disposizione)
e di solito considera terminata la prima richiesta quando gli presentiamo A nella forma

[tex]A=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\2&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1&2&0\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right)^\(-1\)[/tex]
senza svolgere i conti.

la mia domanda è ....è possibile provare che [tex]A^2=I[/tex] senza calcolarsi tutti gli elementi di A?

Risposte
cirasa
La matrice $A$ dovrebbe essere giusta.
$A^2$ è una matrice $3\times 3$ e come tale definisce un endomorfismo di $RR^3$.
Vediamo come agisce questo endomorfismo sui vettori della base $((1),(1),(1)),((2),(2),(1)),((0),(1),(1))$ di $RR^3$.
$A^2((1),(1),(1))=A((2),(2),(1))=((1),(1),(1))$
$A^2((2),(2),(1))=A((1),(1),(1))=((2),(2),(1))$
$A^2((0),(1),(1))=A((0),(1),(1))=((0),(1),(1))$

Quindi a cosa corrisponde l'endomorfismo di $RR^3$ definito da $A^2$? E perchè? Dalla risposta a queste domande deduci facilmente che $A^2=I$.
Naturalmente se ci sono dubbi, chiedi pure. :D


Edit: Ho modificato il mio post, prima avevo dato la soluzione. Ora ho cercato di dare solo un suggerimento.

Mire_90
Ciao...grazie mille...sono piccole considerazioni che spesso mi sfuggono, ancora una volta sei stato di grande aiuto..capito tutto :D

cirasa
Prego! Lieto di esserti stato utile :D

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