A proposito di teoria della cardinalità
Consideriamo l'intervallo reale $[0,1]$... e cominciamo a bipartirlo a metà tramite il punto
$1/2$, otteniamo due intervalli che a loro volta possiamo bipartire... eccetera
Dunque formalmente abbiamo scritto una cosa del tipo
$X=X_1^1\cupX_2^1=X_1^2\cupX_2^2\cupX_3^2\cupX_4^2=...$
che nel nostro caso particolare verifica le particolari proprietà
1) $|X_j^i|=|X|$
2) $X_j^i\capX_h^i=\emptyset$ per ogni $h\nej$ e per ogni $i\inNN$
3) per ogni $x\in X$ esiste una successione di indici $j_n(x)$ tale che
${x}=\cap_{n\inNN}X_{j_n(x)}^j$
Bene...
Mostrare (se è vero!) che una siffatta costruzione può essere effettuata per ogni insieme infinito $X$.
$1/2$, otteniamo due intervalli che a loro volta possiamo bipartire... eccetera
Dunque formalmente abbiamo scritto una cosa del tipo
$X=X_1^1\cupX_2^1=X_1^2\cupX_2^2\cupX_3^2\cupX_4^2=...$
che nel nostro caso particolare verifica le particolari proprietà
1) $|X_j^i|=|X|$
2) $X_j^i\capX_h^i=\emptyset$ per ogni $h\nej$ e per ogni $i\inNN$
3) per ogni $x\in X$ esiste una successione di indici $j_n(x)$ tale che
${x}=\cap_{n\inNN}X_{j_n(x)}^j$
Bene...
Mostrare (se è vero!) che una siffatta costruzione può essere effettuata per ogni insieme infinito $X$.
Risposte
Mi sembra abbastanza evidente che se la cardinalità di $X$ è maggiore di quella di $RR$ la tua costruzione non può essere effettuata.
dici?
Sì, se intendi che gli insiemi $X_j^i$ sono ottenuti "sdoppiando" quelli del livello $i-1$, come nel caso che hai portato come esempio. Se specifichi questo particolare, è un facile esercizio (che lascio a qualcun'altro) dimostrare che la cardinalità di $X$ è minore o uguale a quella di $RR$.
ok...
ps: è ${x}=\cap_{n\inNN}X_{j_n(x)}^n$. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo