A e B diagonalizzabili => AB diagonalizzabile?

[lazzatv]

Cerco una dimostrazione del fatto che se due matrici A e B quadrate nxn sono diagonalizzabili lo è anche il loro prodotto AB o un controesempio se ciò non è vero.
Essendo A e B diagonalizzabili hanno autovalori con molteplicità geometrica e algebrica uguali e $A=T^(-1)ET$ e $B=V^(-1)FV$ dove E e F sono diagonali (quindi lo è anche il loro prodotto) con gli autovalori di A e B e sia T che V hanno colonne linearmente indipendenti e, se non erro, le colonne di $T^(-1)$ e $V^(-1)$ sono autovettori rispettivamente di A e B.
Ora devo dimostrare che $AB=T^(-1)ETV^(-1)FV=S^(-1)DS$ con $S^(-1)$ con colonne che sono autovettori di AB e D che è una diagonale con gli autovalori di AB. Sono anche consapevole del fatto che $det(A)det(B)=det(AB)$ ma i singoli autovalori di AB generalmente non sono il prodotto di quello corrispondente di A per quello di B quindi cercare di concludere che $EF=D$ non è corretto perchè ciò implicherebbe che gli autovalori di AB sono il prodotto uno a uno degli autovalori di A e B.
Dalla relazione precedente ottengo che $TABV^(-1)=ETV^(-1)F$ e poi posso continuare a premoltiplicare e moltiplicare per T V e le loro inverse ma non riesco ad arrivare a una conclusione del tipo $S^(-1)DS$.
Ho anche pensato che si potrebbe dimostrare che moltiplicando le matrici A e B si ottiene una matrice AB con autovalori con molteplicità algebrica e geometrica uguali dato che gli autovalori di A e di B sono di questo tipo ma non so come fare.
Vi ringrazio in anticipo.

[miuemia]

$A=((1,0),(0,-1))$

$B=((0,1),(1,0))$

le quali sono diagonalizzabili su $RR$.

$AB=((0,1),(-1,0))$ , che non è diagonalizzabile su $RR$.

[lazzatv]

ok grzie mille!
Esiste anche un controesempio nel campo complesso?

[miuemia]

forse sì non saprei dirti però ovviamente in$CC$ hai che ogi polinomio ha degli zeri quindi non puoi trovare controesempi come questo, magari devi più puntare sulle molteplicità algebriche e geometriche che siano diverse.