$A$ denso in $X\Rightarrow A\times A$ denso in $X$?

[in_me_i_trust]

Salve ragazzi

Non riesco a trovare una risposta alla domanda del titolo, ovvero se $A$ è un insieme denso in $X$ allora $A\times A$ è pure denso in $X$?
Grazie per ogni suggerimento!

Simone

[dissonance]

Vuoi dire $A times A$ è denso in $X \times X$? Sposto comunque nella sezione di Geometria, visto che si tratta di una questione di topologia generale.

[cirasa]

Prova a dimostrarlo!
Se non ci riesci vuol dire che è vero, altrimenti cerca un controesempio.

Nel tuo caso per provare che $A\times A$ è denso in $X\times X$ è sufficiente provare che ogni elemento di $X\times X$ è nella chiusura di $A\times A$.
Non dovrebbe essere complicato farlo. Ti ricordo che la topologia prodotto su $X\times X$ ha per base l'insieme degli aperti del tipo $V\times W$ con $V,W$ aperti di $X$.

[in_me_i_trust]

Grazie mille per la risposta! Purtroppo penso di non essere così pratico nell'effettuare queste dimostrazioni. Sto sfruttando alcuni risultati per provare esistenza e unicità di un sistema EDP ma quando c'è qualcosa di un po' più fuori dagli schemi so fritto!!:)

[cirasa]

Sia $(x,y)\in X\times X$. Provo che $(x,y)$ è nella chiusura di $A\times A$, ovvero che ogni intorno di $(x,y)$ ammette intersezione non nulla con $A\times A$.
Sia $W$ un intorno di $(x,y)$. Allora esistono $U,V$ aperti di $X$ tali che $(x,y)in U\times V\subset W$.
Visto che $U\cap A!=\emptyset$ e $V\cap A!=\emptyset$ e visto che $(U\cap A)\times (V\cap A)=(U\times V)\cap (A\times A)$, si ha che $Wcap (A\times A)!=\emptyset$, ovvero la tesi.