A cosa serve il piano proiettivo con lo studio delle coniche?
Qualcuno mi saprebbe spiegare a cosa serve il piano proiettivo quando si studiano le coniche?
Da quello che ho capito estende il piano euclideo con la retta all'infinito, data dall' unione dei punti omogenei(o punti all'infinito) e che 2 rette parallele rappresentate nel piano proiettivo in realtà incidono nel punto infinito.
Non ho capito però cosa ha a che fare con lo studio delle coniche.
Se è troppo complesso da spiegare potete anche indirizzarmi a siti esterni o allegare dei documenti a riguardo
Da quello che ho capito estende il piano euclideo con la retta all'infinito, data dall' unione dei punti omogenei(o punti all'infinito) e che 2 rette parallele rappresentate nel piano proiettivo in realtà incidono nel punto infinito.
Non ho capito però cosa ha a che fare con lo studio delle coniche.
Se è troppo complesso da spiegare potete anche indirizzarmi a siti esterni o allegare dei documenti a riguardo
Risposte
Una volta definite le quadriche nello spazio proiettivo, ciò che prima chiamavi quadriche diventano gli "scheletri affini" delle quadriche proiettive. Limitandosi al piano proiettivo, una conica \(\mathcal{Q}\subseteq \mathbb{P}^2\) è l'insieme dei vettori isotropi di una forma quadratica, ossia di un polinomio omogeneo nelle coordinate pluckeriane \([X_0:X_1:X_2]\), dotato della topologia di sottospazio rispetto a quella di \(\mathbb{P}^2\). Gli scheletri affini di una quadrica sono le intersezioni di tale quadrica con i complementari degli iperpiani \(\{X_i=0\}\), e la loro equazione nel riferimento proiettivo canonico si ottiene ponendo la variabile $X_i$ uguale ad $1$. Su $CC$ l'unico invariante di classificazione è il rango: tutte le quadriche non degeneri sono equivalenti rispetto alla relazione che ne identifica le matrici se sono coniugate. Su $RR$ invece c'è un invariante più fine, la segnatura; qui le posizioni reciproche tra iperpiano all'infinito e quadrica ne classificano gli scheletri affini (se la quadrica è tangente all'infinito, è una parabola; se non ha intersezioni in punti reali, è un'ellisse, etc.).
Adesso non lo so se sto dicendo la stessa cosa di KB, che come sempre usa un linguaggio molto più sofisticato. Una conica in \(\mathbb R^2\) è data dall'equazione
\[
ax^2+by^2+cxy + d x +e y + f = 0.\]
In questa equazione i coefficienti non hanno tutti lo stesso peso: alcuni sono coefficienti dei termini quadratici, altri di termini lineari e poi c'è pure un termine noto. Questa è una seccatura, perché è sempre più facile studiare oggetti matematici dotati di maggiore simmetria.
L'osservazione di base è che, aggiungendo una coordinata,
\[
x= \frac{X}{Z}, y=\frac{Y}Z, \]
e sostituendo, l'equazione della quadrica si riscrive
\[
aX^2+ bY^2 + cXY + dXZ + e YZ + fZ^2 = 0, \]
e adesso tutti i termini sono quadratici: abbiamo un polinomio omogeneo. Va molto meglio, perché adesso si apre tutto il mondo dell'algebra delle forme quadratiche, che si possono diagonalizzare, hanno il teorema di Sylvester, etc...
E' un po' come passare dai numeri reali ai complessi, infatti ho letto da qualche parte che si parla di "completamento proiettivo". A noi magari interessano solo i numeri reali, ma passando ai complessi le formule diventano più comprensibili, e si riescono a dimostrare teoremi che sarebbero difficili da vedere a livello puramente reale.
\[
ax^2+by^2+cxy + d x +e y + f = 0.\]
In questa equazione i coefficienti non hanno tutti lo stesso peso: alcuni sono coefficienti dei termini quadratici, altri di termini lineari e poi c'è pure un termine noto. Questa è una seccatura, perché è sempre più facile studiare oggetti matematici dotati di maggiore simmetria.
L'osservazione di base è che, aggiungendo una coordinata,
\[
x= \frac{X}{Z}, y=\frac{Y}Z, \]
e sostituendo, l'equazione della quadrica si riscrive
\[
aX^2+ bY^2 + cXY + dXZ + e YZ + fZ^2 = 0, \]
e adesso tutti i termini sono quadratici: abbiamo un polinomio omogeneo. Va molto meglio, perché adesso si apre tutto il mondo dell'algebra delle forme quadratiche, che si possono diagonalizzare, hanno il teorema di Sylvester, etc...
E' un po' come passare dai numeri reali ai complessi, infatti ho letto da qualche parte che si parla di "completamento proiettivo". A noi magari interessano solo i numeri reali, ma passando ai complessi le formule diventano più comprensibili, e si riescono a dimostrare teoremi che sarebbero difficili da vedere a livello puramente reale.
Moralmente esiste solo un risultato in questa direzione, che è la classificazione delle forme quadratiche (o delle applicazioni lineari simmetriche ad essere associate mediante polarizzazione. Questa classificazione dipende dal campo dove lo spazio (proiettivo, e conseguentemente affine) è basato.
Per il resto, nota(te entrambi, semmai servisse) che nessuna quadrica affine è compatta, laddove invece una quadrica proiettiva, in quanto chiusa in un T2 compatto, è compatta (questo avviene in effetti a tutte le curve algebriche in $\mathbb{P}^2$, e ancora piu in generale).
Più formalmente, puoi vedere la risposta che ho dato qui: le mappe di affineizzazione e omogeneizzazione sono quelle definite in 0.7.1. e studiate in 0.7.2. e 0.7.3. qui.
Per il resto, nota(te entrambi, semmai servisse) che nessuna quadrica affine è compatta, laddove invece una quadrica proiettiva, in quanto chiusa in un T2 compatto, è compatta (questo avviene in effetti a tutte le curve algebriche in $\mathbb{P}^2$, e ancora piu in generale).
L'osservazione di base è che, aggiungendo una coordinata,
\[
x= \frac{X}{Z}, y=\frac{Y}Z, \]
e sostituendo, l'equazione della quadrica si riscrive
\[
aX^2+ bY^2 + cXY + dXZ + e YZ + fZ^2 = 0, \]
e adesso tutti i termini sono quadratici: abbiamo un polinomio omogeneo.
Più formalmente, puoi vedere la risposta che ho dato qui: le mappe di affineizzazione e omogeneizzazione sono quelle definite in 0.7.1. e studiate in 0.7.2. e 0.7.3. qui.
Grazie KB, ma il mio obiettivo è proprio quello di dare una risposta più elementare, senza introdurre definizioni. Quindi non cerco il "più formalmente".
Quanto alla compattificazione, hai ragione a farlo notare, io non ci avevo fatto caso. Queste sono sempre cose utili. Anche sulla polarizzazione hai ragione, in effetti è un modo più moderno di parlare di teorema di Sylvester.
Quanto alla compattificazione, hai ragione a farlo notare, io non ci avevo fatto caso. Queste sono sempre cose utili. Anche sulla polarizzazione hai ragione, in effetti è un modo più moderno di parlare di teorema di Sylvester.
Beh, io parlavo a entrambi (sebbene tu sia un po' più maturo, vedere scritta una maniera formale di intendere la tua risposta potrebbe aiutarti a connettere l'elementare all'astratto); poi, spero che nel mese che è intercorso dalla risposta, l'OP sia stato in grado di risolvere la sua inquietudine.
"killing_buddha":
[...] tu sia un po' più maturo [...] aiutarti a connettere l'elementare all'astratto
[ot]
sei sempre in modalità teacher, eh?[/ot]
non lo so se sto dicendo la stessa cosa di KB
Non vedo perché dici così; solo, questo tuo incipit mi ha fatto pensare che non ti fosse particolarmente chiaro cosa ho detto.
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