A chi piace l'algebra lineare: Cholesky...

[fu^2]

un esercizio semplice, ma simpatico tratto dai miei esercizi di calcolo numerico che voglio proporre:

trovare la decomposizione di Cholesky della matrice $A=[(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]+v*v^T$ e generalizzare al caso nxn.
Ovviamente dare le condizione su v affinchè si possa applicare il metodo di Cholesky.

(facoltativo: dimostrare che se una matrice A rispetta le condizioni per applicare Cholesky allora è possibile trovare una matrice R triangolare superiore tale per cui $R^(T)R=A$)


Il secondo punto (quello facoltativo) è il più simpatico, però anche il primo,seppur semplice, da qualche sorpresa carina

[fu^2]

aggiungo un altro pezzo per rendere più interessante dimostrare che una matrice A è simmetrica e definita positiva se e solo se esiste R triangolare superiore tc $R^(T)R=A$ (che poi è la stessa cosa che...)

Inoltre generalizzare l'esercizio precedente con $A=[(0 ,0 ,0 ),(0,alpha_1,0),(0,0,alpha_2)]+v*v^T$ e genralizzare al caso nxn.




nota: il valore di questo esercizio è che sapendo che condizioni dare (che sono proprio pochissime), è facile generare dei prodotti scalari per uno spazio vettoriale...

ciaoo