A a coeff. interi e A^-1 a coeff. interi sse detA=+-1

[ale.b14]

Sia $A$ una matrice $nxn$ invertibile a coefficienti interi. Provare che $A^{-1}$ ha coefficienti interi se e solo se $detA=1$ oppure $detA=-1$

Allora... un'implicazione è abbastanza ovvia dalla formula per l'inversa di una matrice: $A^{-1}=1/{detA}*adjA$

per provare che se $A$ e $A^{-1}$ hanno entrambe coefficienti interi allora $detA=+-1$ come posso fare??

[dissonance]

Sempre con la stessa formula, no...? A occhio mi pare che si riesca a concludere. Tieni conto che gli elementi di $"adj" A$ sono numeri interi.

[ale.b14]

la cosa che mi turba è:
non potrebbe accadere che il determinante divida tutti gli elementi di $adjA$ e quindi che $A^{-1}$ abbia coefficienti interi nonostante il determinante sia diverso da $+-1$?

[Gi81]

"ale.b":per provare che $[A$ e $A^{-1}$ hanno entrambe coefficienti interi $=> detA=+-1]$
come posso fare??

Le ipotesi sono che $A$ e $A^(-1)$ hanno entrambe coefficienti interi. Quindi entrambe devono avere determinante intero.
Inoltre deve valere $det(A^(-1))=1/det(A)$
Vai avanti tu

[ale.b14]

oddio è vero! mi ero un attimo perso mentalmente... grazie!