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[matteomors]

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[Camillo]

Prima di tutto calcoliamo Dim$ ker T $ : ci sono 3 variabili legate da una relazione $ x-2y+z=0 $ quindi Dim $ker T = 3-1=2$.Riscrivo la relazione così : $ z= -x+2y $ .
Per trovare una base di $Ker T $ assegno i valori : $ x=1,y=0 $ da cui $ z = -1$
Assegno poi $x=2, y=1 $ da cui $z= 1 $ ed ecco UNA base $(1,0,-1),(2,1,1)$.

[matteomors]

Allora $Dim(KerT)=3-1$ perchè? Immagino dall'eq.dimensionale,capisco che la dimensione del dominio sia 3 ma perchè $Dim(imT)=1?$

[mistake89]

perchè hai $3$ variabili in un'unica relazione è scritto prima.
In parole povere puoi ricavarti una di esse in funzione delle altre $2$

[matteomors]

Allora diciamo che avete prima dedotto che $Ker(T)$ ha dimensione 2 perchè ha un'unica equazione con la quale è possibile esprimere una variabile in funzione delle altre 2, e di conseguenza avete ricavato che $Dim(IM(T))=1$?

[Camillo]

Sì , siamo in $RR^3 $ che ha dimensione $3$; $Ker T $ ha dimensione $ 3-1 =2 $ perchè una sola relazione lega le tre variabili.
Poi deduciamo che dim $Im T =3-2 =1 $ (teorema delle dimensioni ).
Quindi $T $ è una applicazione che non è :
nè iniettiva ( avrebbe dovuto essere dim $ker T =0 $
nè suriettiva ( avrebbe dovuto essere dim $Im T = 3 $.

[matteomors]

Ok, quindi, per determinare $dim(kerT)$ ragiono così:

guardo, per avere una terna di valori(perchè siamo in $RR^3$), a quante variabili devo dare un valore.
In questo caso è necessario dare un valore a 2 variabili, di conseguenza la dimensione è 2 giusto?

Se ad esempio sempre in $RR^3$ avessi avuto il nucleo con la seguente relazione:$x=2y$ mi sarebbe bastato dare dei valori a una variabile per ottenere una generica terna del nucleo, e di conseguenza la dimensione sarebbe stata 1 giusto?

[ImpaButty]

Mhh...in $RR^3& devi avere per forza tre incognite. La dimensione del Ker è pari a 1 solo se le 3 variabili dipendono da 2 parametri...giusto?!

Faccio un pò di ripasso anche io