3 problemi

[Aeon1]

Non avendo seguito la lezione causa malattia non ho capito questi esercizi

1)calcola la lunghezza della curva $2x^(1/2)$

2)sia F(x,y)=$y^2i+2xyj$ calcola l'integrale di linea nel campo vettoriale da F(0,0) a F(1,1) lungo la parabola $ y=x^2$

grazie per l'aiuto

[_luca.barletta]

"Aeon":

1)calcola la lunghezza della curva $2x^(1/2)$

gli estremi? 0 e x?

[Aeon1]

0 e 1

ops

[_luca.barletta]

Puoi vederlo come:
$vec(dL)=vec(dx)+vec(dy)=dL*vec(u_L)$
$L=int_(gamma) dL=int_0^1 sqrt(1+((2sqrt(x))')^2)dx$

[Aeon1]

"luca.barletta":Puoi vederlo come:
$vec(dL)=vec(dx)+vec(dy)=dL*vec(u_L)$
$L=int_(gamma) dL=int_0^1 sqrt(1+((2sqrt(x))')^2)dx$

mi spiegheresti quell'integrale di linea? (è un integrali di linea vero?)

[_luca.barletta]

sì, è un integrale di linea, tutto il succo della spiegazione sta qui:
$vec(dL)=vec(dx)+vec(dy)=dL*vec(u_L)$
dove $vec(dL)$ è un vettore che spicca tangenzialmente alla curva regolare $gamma$. Scomponi $vec(dL)$ nelle due componenti secondo x e y e applichi il teorema di pitagora:
$||vec(dL)||=||vec(u_x)dx+vec(u_y)dy||=sqrt(dx^2+dy^2)$ ma hai che y=f(x), dunque dy=f'(x)dx:
$=sqrt(dx^2+[f'(x)]^2dx^2)=sqrt(1+[f'(x)]^2)dx$

dunque $L=int_(gamma) ||vec(dL)||=int_0^1 sqrt(1+((2sqrt(x))')^2)dx$

[_luca.barletta]

"Aeon":

2)sia F(x,y)=$y^2i+2xyj$ calcola l'integrale di linea nel campo vettoriale da F(0,0) a F(1,1) lungo la parabola $ y=x^2$

Riscriviamo la forma differenziale lineare come $F(x,y)=M(x,y)hati+N(x,y)hatj$, poiché $M_y=N_x$ il campo vettoriale è conservativo, perciò F(1,1)-F(0,0) non dipende dalla particolare curva percorsa, invece di percorrere la parabola possiamo percorrere una spezzata:

$F(1,1) = F(0,0)+int_0^1 M(x,0)dx+int_0^1 N(1,y) dy$

[Aeon1]

Mi potresti fare un esempio di integrale di linea qualsiasi?

[_luca.barletta]

Ad esempio, hai un campo vettoriale $vecv=x^2hati+y^2hatj+hatk$ e vuoi calcolare il lavoro effettuato per spostarti sulla linea
$Gamma={(x=cost),(y=sint),(z=t):}$ per $0<=t<=pi/2$
hai che:
$L=int_(Gamma) dL=int_(Gamma) x^2dx+y^2dy+dz=int_0^(pi/2) (cos^2t(-sint)+sin^2tcost+1)dt=(...)=pi/2$

[Aeon1]

"luca.barletta":Ad esempio, hai un campo vettoriale $vecv=x^2hati+y^2hatj+hatk$ e vuoi calcolare il lavoro effettuato per spostarti sulla linea
$Gamma={(x=cost),(y=sint),(z=t):}$ per $0<=t<=pi/2$
hai che:
$L=int_(Gamma) dL=int_(Gamma) x^2dx+y^2dy+dz=int_0^(pi/2) (cos^2t(-sint)+sin^2tcost+1)dt=(...)=pi/2$

in questo caso l'ho capita, ma nel caso di prima?

[_luca.barletta]

del 1° o del 2°

[Aeon1]

"luca.barletta":[quote="Aeon"]

2)sia F(x,y)=$y^2i+2xyj$ calcola l'integrale di linea nel campo vettoriale da F(0,0) a F(1,1) lungo la parabola $ y=x^2$

Riscriviamo la forma differenziale lineare come $F(x,y)=M(x,y)hati+N(x,y)hatj$, poiché $M_y=N_x$ il campo vettoriale è conservativo, perciò F(1,1)-F(0,0) non dipende dalla particolare curva percorsa, invece di percorrere la parabola possiamo percorrere una spezzata:

$F(1,1) = F(0,0)+int_0^1 M(x,0)dx+int_0^1 N(1,y) dy$[/quote]

non mi è chiaro lo svolgimento "numerico" dell'esercizio

[_luca.barletta]

ho integrato sulla spezzata $Gamma={(y=0,0<=x<=1),(x=1,0<=y<=1):}

[Aeon1]

ma prima avevavamo un campo vettoriale e il sistema, mentre ora abbiamo un campo vettoriale, una funzione e delle coordinate.
se nel primo caso si risolve nel modo (f(g(r)^2)*g'(r)

nel secondo caso cosa faccio?

[_luca.barletta]

Le forme differenziali lineari esatte
$df(x,y)=X(x,y)dx+Y(x,y)dy$
si integrano così
$f(x,y)=int_(Gamma) X(x,y)dx+Y(x,y)dy+C$
si dice anche integrale di linea di 2a specie.
Per la teoria ti consiglio di consultare il libro o chiedere al prof, io potrei anche sbagliare

[Aeon1]

"luca.barletta":[quote="Aeon"]

2)sia F(x,y)=$y^2i+2xyj$ calcola l'integrale di linea nel campo vettoriale da F(0,0) a F(1,1) lungo la parabola $ y=x^2$

[/quote]

Riscriviamo la forma differenziale lineare come $F(x,y)=M(x,y)hati+N(x,y)hatj$, poiché $M_y=N_x$ il campo vettoriale è conservativo, perciò F(1,1)-F(0,0) non dipende dalla particolare curva percorsa, invece di percorrere la parabola possiamo percorrere una spezzata:



chi mi spiega questo passaggio?

[_luca.barletta]

E' teoria: la forma differenziale lineare si dice esatta se e solo se $M_y=N_x$, se è esatta allora si integra come visto sopra.
Verifichiamo che sia esatta: $M_y=2y$, $N_x=2y$, lo è.
Questo equivale anche a dire che il campo vettoriale F è irrotazionale, o conservativo, cioè il lavoro speso per spostarti da $P_1$ a $P_2$ dipende solo da queste due punti e non dal particolare cammino $gamma$ tra i due punti

[Aeon1]

"luca.barletta":E' teoria: la forma differenziale lineare si dice esatta se e solo se $M_y=N_x$, se è esatta allora si integra come visto sopra.
Verifichiamo che sia esatta: $M_y=2y$, $N_x=2y$, lo è.
Questo equivale anche a dire che il campo vettoriale F è irrotazionale, o conservativo, cioè il lavoro speso per spostarti da $P_1$ a $P_2$ dipende solo da queste due punti e non dal particolare cammino $gamma$ tra i due punti

ok, ma la mia F(x,y) come la scrivo ora?

[_luca.barletta]

non capisco, è tutto svolto sopra: $M(x,y)=y^2$, $N(x,y)=2xy$

[Aeon1]

e come si integra M(x,0)???
scusa ma ho le idee un po' confuse

[_luca.barletta]

$F(1,1) = F(0,0)+int_0^1 M(x,0)dx+int_0^1 N(1,y) dy=F(0,0)+int_0^1 0 dx+int_0^1 2ydy=2int_0^1ydy=|y^2|_0^1=1$