3 esercizi: applicazione lineare, conica, piani e sfere
Buonasera, scrivo per avere una consulenza su tre esercizi di cui in particolare il primo mi mette un pò in crisi:
ESERCIZIO1
Data l’applicazione lineare f : R2 → R4 tale che (2,−1) ∈ Kerf e (1, 1) ∈ f−1(1,−1, 1,−1)
(a) si determini la matrice di f rispetto alle basi canoniche;
(b) si determini una base di Kerf e una base di Imf e si dica se f e’ iniettiva o suriettiva;
(c) si trovi (se possibile) un’applicazione lineare g : R4 → R2 tale che Img sia il sottospazio vettoriale di R2 avente come base il vettore (2,−1).
il mio ragionamento è il seguente per trovare la matrice della funzione che deve essere una matrice di 4 righe per 2 colonne:
2 f(e1) -1 f(e2) = (0,0,0,0)
1 f(e1) +1 f(e2) = (1,-1,1,-1)
e mi trovo che $ f(e1) = ( 1/3, 1/3, 1/3, 1/3) $ e $f(e2) = ( 2/3, -4/3, 2/3, -4/3) $ che messi in colonna sono la mia matrice...giusto??
se la matrice è giusta vedo che il rango è 2 quindi dimImf=2 dimKerf=2-2=0 INIETTIVA
per la terza non so dove partire...
ESERCIZIO2
Data la conica di equazione $x2 + xy + y2 − x =0 $
(a) la si classifichi e se ne trovino centro e assi di simmetria;
(b)si trovi una forma canonica per l’equazione data.
faccio la matrice det matrice completa $ 1/4 != 0 $ NON DEGENERE, det matrice interna $ 3/4 > 0 $ ELLISSE
trovo centro C $(2/3, -1/3) $ autovalori 1 e $1/3$ quindi la forma canonica è $3x^2 + y^2=-1$
per gli assi?
ESERCIZIO3
Dati i vettori u = i − 2j − k e v = j e la sfera Σ di equazione $x^2 + y^2 +(z − 1)^2 =9$
(a) si trovino tutti i piani che sono paralleli sia a u che a v ;
(b) tra i piani trovati in (a), si in dividuino gli eventuali sottospazi vettoriali di R3;
(c) tra i piani trovat i in (a), si determinino quelli che tagliano sulla sfera data Σ una circonferenza di raggio2.
-ax+by+cz+d= piano generico faccio il prodotto vettoriale tra v e u ottenendo il versore al piano (1,0,1)
sostituisco nell'eq. e trovo x+z+d=0 il generico piano.
-in R3 dovrebbero essere i piani passanti per l'origine??
-faccio pitagora tra i due raggi e trovo la distanza tra i due centri di sfera e retta, imposto la distanza tra centro sfera e piano alla distanza trovata e ottengo d
$ | ax + by + cz + d | / sqrt (a^2+b^2+c^2) = sqrt (5) $
Scusate preventivamente se ho scritto castronerie!!
ESERCIZIO1
Data l’applicazione lineare f : R2 → R4 tale che (2,−1) ∈ Kerf e (1, 1) ∈ f−1(1,−1, 1,−1)
(a) si determini la matrice di f rispetto alle basi canoniche;
(b) si determini una base di Kerf e una base di Imf e si dica se f e’ iniettiva o suriettiva;
(c) si trovi (se possibile) un’applicazione lineare g : R4 → R2 tale che Img sia il sottospazio vettoriale di R2 avente come base il vettore (2,−1).
il mio ragionamento è il seguente per trovare la matrice della funzione che deve essere una matrice di 4 righe per 2 colonne:
2 f(e1) -1 f(e2) = (0,0,0,0)
1 f(e1) +1 f(e2) = (1,-1,1,-1)
e mi trovo che $ f(e1) = ( 1/3, 1/3, 1/3, 1/3) $ e $f(e2) = ( 2/3, -4/3, 2/3, -4/3) $ che messi in colonna sono la mia matrice...giusto??
se la matrice è giusta vedo che il rango è 2 quindi dimImf=2 dimKerf=2-2=0 INIETTIVA
per la terza non so dove partire...
ESERCIZIO2
Data la conica di equazione $x2 + xy + y2 − x =0 $
(a) la si classifichi e se ne trovino centro e assi di simmetria;
(b)si trovi una forma canonica per l’equazione data.
faccio la matrice det matrice completa $ 1/4 != 0 $ NON DEGENERE, det matrice interna $ 3/4 > 0 $ ELLISSE
trovo centro C $(2/3, -1/3) $ autovalori 1 e $1/3$ quindi la forma canonica è $3x^2 + y^2=-1$
per gli assi?
ESERCIZIO3
Dati i vettori u = i − 2j − k e v = j e la sfera Σ di equazione $x^2 + y^2 +(z − 1)^2 =9$
(a) si trovino tutti i piani che sono paralleli sia a u che a v ;
(b) tra i piani trovati in (a), si in dividuino gli eventuali sottospazi vettoriali di R3;
(c) tra i piani trovat i in (a), si determinino quelli che tagliano sulla sfera data Σ una circonferenza di raggio2.
-ax+by+cz+d= piano generico faccio il prodotto vettoriale tra v e u ottenendo il versore al piano (1,0,1)
sostituisco nell'eq. e trovo x+z+d=0 il generico piano.
-in R3 dovrebbero essere i piani passanti per l'origine??
-faccio pitagora tra i due raggi e trovo la distanza tra i due centri di sfera e retta, imposto la distanza tra centro sfera e piano alla distanza trovata e ottengo d
$ | ax + by + cz + d | / sqrt (a^2+b^2+c^2) = sqrt (5) $
Scusate preventivamente se ho scritto castronerie!!
Risposte
esercizio 1)
Per il teorema della dimensione hai che $dimRR^4=dimkerf+dimImf$ perciò ricavi che $dimKerf=3$. Quindi prendi una base di $RR^4$, magari la base canonica, imponi che un vettore abbia immagine $(2,-1)$ e che i rimanenti $3$ vettori siano nel $ker$... hai terminato.
Per il teorema della dimensione hai che $dimRR^4=dimkerf+dimImf$ perciò ricavi che $dimKerf=3$. Quindi prendi una base di $RR^4$, magari la base canonica, imponi che un vettore abbia immagine $(2,-1)$ e che i rimanenti $3$ vettori siano nel $ker$... hai terminato.
Grazie per l'aiuto, per la prima parte del 1° esercizio invece è tutto corretto??
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