2 Esercizi sottospazi

[FiorediLoto2]

Salve a tutti,
Ho preso questi due esercizi tratti da un esame ma che non sono riuscita a svolgere, mi potete aiutare a capire come fare?

1. Al variare di k sia data la matrice A:

$((k-8,0,-k-5),(-k-1,k,-4),(4,k-3,7))$

quali sono i valori di k per cui la matrice ammetta il sottospazio

$V={(x,y,z) in R^3 | x+2z=0 , y+z=0}$

come autospazio.

Ecco come ho pensato di svolgere questo primo esercizio:

se il sottospazio è un autospazio allora $x+2z=0$ e $y+z=0$ sono autovettori? -> $(1, 0, 2)$ e $(0, 1 ,1)$

Avevo pensato di fare in questo modo:
$Au=lambdau$
quindi diventa
$A(1,0,2)=lambda(1,0,2)$
$A(0,1,1)=lambda*(0,1,1)$

ma i risultati escono sballati! Ho forse sbagliato qualcosa? c'è una via piu semplice?

il secondo esercizio dice:

2. sia dato
$f_h(x,y)=((h+4)x-y)X^3 + (x+(h+2)y)X^2 + (hx+3y)X + ((h+3)y)$

e il sottospazio:
$W={aX^3+bX^2+cX+d in R_3[X] | a=0, 4b-c=0, 2b-d=0}$

calcolare i valori di h per i quali $dim(Im(f)+W)=2$

Il problema è che il sottospazio W ha già dimensione 3, come puo' la dimensione della somma essere 2?

Vi prego di aiutarmi a sciogliere i miei grandi dubbi,
Grazie a tutti!

[FiorediLoto2]

Non riesco proprio a capire come si farebbero altrimenti gli esercizi, sto provando di tutto ma credo che la via per la risoluzione sia quella che ho descritto, solo penso di sbagliare qualcosa.
la teoria mi dice che $Au=lambdau$
e ho cercato di mettere in atto tale definizione ma qualcosa sembra che esca sbagliata!

[FiorediLoto2]

Proprio nessuno mi sa aiutare?