Zenone
C'è una soluzione ai paradossi di Zenone?
HO letto che alcuni propongono come soluzione la teoria dei limiti (una somma di addendi infiniti può convergere a un limite finito), ma a me non sembra affatto una soluzione: anche Zenone lo sapeva che Achille si avvicina sempre di più (e quindi tende alla tartaruga). Ma tendere non significa raggiungere.
Le mie conoscenze si limitano a una matematica liceale.
[Personalmente mi sembra che l'unica soluzione sia pensare lo spazio come discreto e non continuo: pensare cioè esista un movimento minimo al di sotto del quale vi è la quiete. Se consideriamo questo movimento come uno spostamento da A a B, esso non avverrebbe attraversando tutti i punti da A a B, ma attraverso una sorta di "trasformazione" dallo stato A allo stato B].
HO letto che alcuni propongono come soluzione la teoria dei limiti (una somma di addendi infiniti può convergere a un limite finito), ma a me non sembra affatto una soluzione: anche Zenone lo sapeva che Achille si avvicina sempre di più (e quindi tende alla tartaruga). Ma tendere non significa raggiungere.
Le mie conoscenze si limitano a una matematica liceale.
[Personalmente mi sembra che l'unica soluzione sia pensare lo spazio come discreto e non continuo: pensare cioè esista un movimento minimo al di sotto del quale vi è la quiete. Se consideriamo questo movimento come uno spostamento da A a B, esso non avverrebbe attraversando tutti i punti da A a B, ma attraverso una sorta di "trasformazione" dallo stato A allo stato B].
Risposte
Una breve spiegazione c'è su wikipedia. Ti segnalo il link, prova a darci una lettura !
http://it.wikipedia.org/wiki/Paradossi_di_Zenone
La dimostrazione sfrutta solo il fatto che $sum_(n=1)^(+oo)x^n$ converge se e solo se $|x|<1$.
http://it.wikipedia.org/wiki/Paradossi_di_Zenone
La dimostrazione sfrutta solo il fatto che $sum_(n=1)^(+oo)x^n$ converge se e solo se $|x|<1$.
Grazie ma se non sbaglio questa dimostrazione contiene il problema che ho esposto sopra: il limite proprio per definizione è solo ciò a cui si tende, non ciò che si raggiunge...
guarda qui, se ne è parlato un paio di mesi fa
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... ght=zenone.
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... ght=zenone.
Il paradosso si basa sostanzialmente sul fatto che il l'istante in cui Achille raggiunge la tartaruga è il risultato di una somma infinita i cui termini sono i tempi che Achille impiega per coprire determinate distanze.
Zenone sostiene che il risultato di una somma costituita da infiniti termini deve essere infinito.
Cioè, Achille raggiunge la tartaruga all'infinito.
In realtà, come dimostrato, quella in gioco è una serie a termini positivi convergente a un certo T finito.
Quel tempo T è proprio l'istante in cui Achille raggiunge la tartaruga.
Negli istanti successivi si realizza quindi il sorpasso.
Zenone sostiene che il risultato di una somma costituita da infiniti termini deve essere infinito.
Cioè, Achille raggiunge la tartaruga all'infinito.
In realtà, come dimostrato, quella in gioco è una serie a termini positivi convergente a un certo T finito.
Quel tempo T è proprio l'istante in cui Achille raggiunge la tartaruga.
Negli istanti successivi si realizza quindi il sorpasso.
Zenone sostiene che il risultato di una somma costituita da infiniti termini deve essere infinito.
Non è proprio così.
Lui sostiene in un certo senso che se ti metti a scrivere gli addendi di quella somma infinita non finisci mai: ed è vero!!
Ho letto la discussione proposta da Giacor: ma anche lì si arriva a usare un limite.
Il limite non risolve niente. Se aumento n ottengo un Epsilon piccolo a piacere, ma MAI uguale a zero. Per questo secondo me si può ovviare il problema solo considerando lo spazio come composto di entità discrete.
Vi sembra corretta la mia obiezione?
Non c'è qualcuno che mi sa proporre una soluzione del problema diversa, più basata sulla fisica moderna?
è vero, ma pensa ad una qualsiasi distanza $\epsilon$. Bene, Achille è più vicino !
Zenone non disponeva del concetto di serie, ma il suo paradosso si basa sul fatto, sbagliato, che Achille non può raggiungere la tartaruga in un tempo finito perchè deve percorrere infiniti steps intermedi ciascuno dei quali di durata finita. Conclude così che è necessario un tempo infinito affinchè Achille raggiunga la tartaruga. Non è vero che il limite non risolve niente, il limite è uno strumento più forte di quello che pensi ! Capisco, credo, la tua obiezione sullo spazio discreto. Penso che l'inghippo stia nel fatto che stiamo parlando anche noi di una somma "infinita" e l'infinito non è un numero, quindi parlarne in termini così pratici è controintuitivo (pensa ad esempio alla storia degli epsilon !). Confido nell'intervento di qualcuno capace di spiegare il tutto meglio di quanto non sia riuscito a fare io.
Dimostrazioni diverse, purtroppo, non ne conosco.
Zenone non disponeva del concetto di serie, ma il suo paradosso si basa sul fatto, sbagliato, che Achille non può raggiungere la tartaruga in un tempo finito perchè deve percorrere infiniti steps intermedi ciascuno dei quali di durata finita. Conclude così che è necessario un tempo infinito affinchè Achille raggiunga la tartaruga. Non è vero che il limite non risolve niente, il limite è uno strumento più forte di quello che pensi ! Capisco, credo, la tua obiezione sullo spazio discreto. Penso che l'inghippo stia nel fatto che stiamo parlando anche noi di una somma "infinita" e l'infinito non è un numero, quindi parlarne in termini così pratici è controintuitivo (pensa ad esempio alla storia degli epsilon !). Confido nell'intervento di qualcuno capace di spiegare il tutto meglio di quanto non sia riuscito a fare io.
Dimostrazioni diverse, purtroppo, non ne conosco.
"flambeau":
Non è proprio così.
Lui sostiene in un certo senso che se ti metti a scrivere gli addendi di quella somma infinita non finisci mai: ed è vero!!
Non è vero per forza che non finisci mai. Se sei sempre più veloce a scrivere gli addendi, può essere che per scrivere quella somma infinita ci metti un tempo finito.
"flambeau":
Vi sembra corretta la mia obiezione?
Non c'è qualcuno che mi sa proporre una soluzione del problema diversa, più basata sulla fisica moderna?
Secondo me non è molto corretta anche perchè secondo me non ci sono problemi legati all'uso del limite, che tu tanto ostacoli. Non ci sono almeno finchè non si dimostrerà che spazio e tempo sono discreti e l'analisi infinitesimale non può essere usata così liberamente in fisica. Ma questa deve essere una dimostrazione a priori rispetto al paradosso di Zenone. A quello che ne so io (che in queste cose superteoriche tipo stringhe-brane etc so meno di zero) questo non è stato ancora dimostrato, quindi li può usare benissimo il limite e quello di Zenone non è più un paradosso.
Dimostrazioni che si basano sulla fisica moderna non credo ne esistano, o meglio, non credo che differirebbero da quella di fisica classica, a meno di correzioni relativistiche al moto. Ma non credo che è quello a cui sei interessato. Se poi cerchi cose tipo stringhe, lunghezze di Plank e cose così boh. Lascio la parola ad altri, perchè sono campi che prorprio non conosco. Ma difficilmente sarebbero cose alla portata di matematica da liceo. Inoltre di sicuro scavando, qualche limite lo trovi lo stesso (basti pensare alla derivata, ogni volta che la si usa, c'è implicito un limite).
Basta la fisica classica, anzi basta Galileo.
Infatti è sufficiente scrivere decentemente le leggi orarie per rendersi conto che i diagrammi si incontrano in un punto.
Se la velocità della tartaruga è [tex]$v_0$[/tex], la velocità di Achille è [tex]$v_1>v_0$[/tex], e la distanza che li separa è [tex]$s_0$[/tex], le leggi orarie del moto dei due sono:
[tex]$A(t)=v_1t$[/tex] e [tex]$T(t)=v_0t+s_0$[/tex];
i grafici si incontrano quando [tex]$A(t)=T(t)$[/tex], quindi basta risolvere l'equazione:
[tex]$v_1t=v_0t+s_0 \Rightarrow t=\frac{s_0}{v_1-v_0}$[/tex].
Il seguente esempio grafico ha [tex]$s_0=4,v_0=1,v_1=2$[/tex]; l'incontro tra Achille (in rosso) e la tartaruga (in verde) avviene al tempo [tex]$t=\frac{4}{2-1} =4$[/tex].
[asvg]xmin=0;xmax=5;ymin=0;ymax=10;
axes("","");
stroke="red";
plot("2x",0,6);
stroke="green";
plot("x+4",0,6);[/asvg]
Se i paradossi di Zenone hanno ancora tanto fascino, probabilmente è colpa dei pessimi insegnanti di Matematica che ci ritroviamo.
@ flambeau: Ti prego di ripulire il titolo dal maiuscolo (cfr. regolamento, 3.5).
Infatti è sufficiente scrivere decentemente le leggi orarie per rendersi conto che i diagrammi si incontrano in un punto.
Se la velocità della tartaruga è [tex]$v_0$[/tex], la velocità di Achille è [tex]$v_1>v_0$[/tex], e la distanza che li separa è [tex]$s_0$[/tex], le leggi orarie del moto dei due sono:
[tex]$A(t)=v_1t$[/tex] e [tex]$T(t)=v_0t+s_0$[/tex];
i grafici si incontrano quando [tex]$A(t)=T(t)$[/tex], quindi basta risolvere l'equazione:
[tex]$v_1t=v_0t+s_0 \Rightarrow t=\frac{s_0}{v_1-v_0}$[/tex].
Il seguente esempio grafico ha [tex]$s_0=4,v_0=1,v_1=2$[/tex]; l'incontro tra Achille (in rosso) e la tartaruga (in verde) avviene al tempo [tex]$t=\frac{4}{2-1} =4$[/tex].
[asvg]xmin=0;xmax=5;ymin=0;ymax=10;
axes("","");
stroke="red";
plot("2x",0,6);
stroke="green";
plot("x+4",0,6);[/asvg]
Se i paradossi di Zenone hanno ancora tanto fascino, probabilmente è colpa dei pessimi insegnanti di Matematica che ci ritroviamo.
@ flambeau: Ti prego di ripulire il titolo dal maiuscolo (cfr. regolamento, 3.5).
Si Gugo, che con la fisica classica il tutto era spiegabile in una riga sembrava sottinteso dal primo post e come è stato anche detto. La cosa che non convince flambeau è il procedimento di Zenone della somma infinita. Ad ogni modo il paradosso di Zenone lo presentano gli insegnanti di Filosofia in 3° liceo, non quelli di matematica, i quali comunque spiegano i limiti solo in 5, cioè 2 anni dopo. E' accettabilissimo che gli studenti si facciano qualche domanda e rimangano un po' perplessi. Del resto sono pronto a scommettere che flambeau sapeva benissimo risolvere la cosa come hai fatto tu.
@ giacor: Cinematica si studia in 3°, subito dopo Zenone.
Per quanto riguarda la somma infinita, non vedo perchè scandalizzarsi; Zenone è vissuto 2500 anni fa ed è normale che certi strumenti non li avesse.
Ad esempio, non ci sembra strano se nostro nonno non sa capire cos'è internet, né che il nostro trisavolo non conoscesse l'uso del telefono; per quale motivo dovrebbe parerci strano se un uomo, vissuto 2400 anni prima di nostro nonno, non sapeva come sommare infiniti addendi?
Semplicemente non aveva gli strumenti culturali adatti a risolvere il problema.
Poi, perchè si tira in ballo la fisica moderna (credo s'intenda quantistica: "pensare lo spazio come discreto e non continuo", si dice nell'OP) per spiegare un problemino di cinematica da 3° liceo?
Sembra tanto che la Scienza di base sia ancora un "sapere esoterico" per molta, troppa gente. Ciò mi spaventa, perchè vuol dire che la scuola non serve a ciò per cui è pensata: istruire la popolazione.
P.S.: So che flambeau non è uno studente. Il discorso è generale.
Per quanto riguarda la somma infinita, non vedo perchè scandalizzarsi; Zenone è vissuto 2500 anni fa ed è normale che certi strumenti non li avesse.
Ad esempio, non ci sembra strano se nostro nonno non sa capire cos'è internet, né che il nostro trisavolo non conoscesse l'uso del telefono; per quale motivo dovrebbe parerci strano se un uomo, vissuto 2400 anni prima di nostro nonno, non sapeva come sommare infiniti addendi?
Semplicemente non aveva gli strumenti culturali adatti a risolvere il problema.
Poi, perchè si tira in ballo la fisica moderna (credo s'intenda quantistica: "pensare lo spazio come discreto e non continuo", si dice nell'OP) per spiegare un problemino di cinematica da 3° liceo?
Sembra tanto che la Scienza di base sia ancora un "sapere esoterico" per molta, troppa gente. Ciò mi spaventa, perchè vuol dire che la scuola non serve a ciò per cui è pensata: istruire la popolazione.
P.S.: So che flambeau non è uno studente. Il discorso è generale.
"giacor86":
...Ad ogni modo il paradosso di Zenone lo presentano gli insegnanti di Filosofia in 3° liceo....
Già.
E sarei proprio curioso di vedere come un prof. di filosofia risolve il paradosso.
Io credo che in generale i prof. di filosofia siano ancora convinti che il paradosso non abbia soluzione.
I "paradossi" di Zenone, sono appunto "paradossi" e come tali non hanno mai trovato una risposta adeguata e forse non la troveranno mai. Su di essi si sono concentrati tutti i maggiori filosofi da Platone a Russell senza mai proporre una soluzione convincente.
Le risposte citate in questo post, dalle serie ai diagrammi, sono molto "ingenue" e mostrano una sostanziale carenza delle problematiche filosofiche.
Stante l'impossibilita di dare "risposte" ricordo solo la loro origine: "mostrare che la tesi della molteplicità delle cose porta a conseguenze ancor più ridicole di cui porta la tesi dell'unità"(Platone).
ps. Zenone sapeva che Achille avrebbe raggiunto la tartaruga (non era sciocco) , ma il problema sollevato era ben altro.
Le risposte citate in questo post, dalle serie ai diagrammi, sono molto "ingenue" e mostrano una sostanziale carenza delle problematiche filosofiche.
Stante l'impossibilita di dare "risposte" ricordo solo la loro origine: "mostrare che la tesi della molteplicità delle cose porta a conseguenze ancor più ridicole di cui porta la tesi dell'unità"(Platone).
ps. Zenone sapeva che Achille avrebbe raggiunto la tartaruga (non era sciocco) , ma il problema sollevato era ben altro.
"GIBI":
Le risposte citate in questo post, dalle serie ai diagrammi, sono molto "ingenue" e mostrano una sostanziale carenza delle problematiche filosofiche.
Mah sarà...
Secondo me non sempre abbiamo dei filosofi greci un'idea aderente alla realtà del loro tempo.
Non dimentichiamo che molti di loro erano sostanzialmente degli uomini di scienza.
Sono convinto che se Zenone fosse stato in possesso delle conoscenze matematiche e fisiche attuali non avrebbe esitato a utilizzare questi strumenti esattamente nel modo che è stato fatto in questi post, concludendo infine che il suo "paradosso" era solo apparente.
Se poi vogliamo attibuire al paradosso di Zenone significati filosofici più generali possiamo anche farlo, ma credo che ciò abbia poco a che vedere con l'intendimento originario del suo autore.
"GIBI":
Le risposte citate in questo post, dalle serie ai diagrammi, sono molto "ingenue" e mostrano una sostanziale carenza delle problematiche filosofiche.
Il problema era "fisico", come dichiarato da flambeau nell'OP:
"flambeau":
C'è una soluzione ai paradossi di Zenone?
Ho letto che alcuni propongono come soluzione la teoria dei limiti (una somma di addendi infiniti può convergere a un limite finito), ma a me non sembra affatto una soluzione: anche Zenone lo sapeva che Achille si avvicina sempre di più (e quindi tende alla tartaruga). Ma tendere non significa raggiungere. [...]
Personalmente mi sembra che l'unica soluzione sia pensare lo spazio come discreto e non continuo: pensare cioè esista un movimento minimo al di sotto del quale vi è la quiete. Se consideriamo questo movimento come uno spostamento da A a B, esso non avverrebbe attraversando tutti i punti da A a B, ma attraverso una sorta di "trasformazione" dallo stato A allo stato B.
e non "filosofico"; le risposte, conseguentemente, sono state "fisiche" e non "filosofiche".
La cosa strana è che, dopo 2500 anni, ancora non si capisca che la difficoltà filosofica di Zenone nasceva da un problema sostanzialmente "tecnico": i greci non sapevano maneggiare l'infinito.
Questa difficoltà è stata causa di parecchie controversie geometriche: ciò nasce anche dal fatto che i greci avevano della Matematica un'idea molto più concreta di quella moderna e legata in maniera profonda al ruolo della misura. La ricordiamo tutti la storiella dei pitagorici e di [tex]$\sqrt{2}$[/tex]: tale storiella mostra quanto l'idea dell'infinito attuale ripugnasse i greci.
Solo la sintesi degli Elementi* ha estromesso l'idea della misura dalla geometria. Tale sintesi è stata portata a compimento proprio per ovviare a tutte le difficoltà tecniche che l'idea di misura si portava dietro; tra queste, l'idea di inifinito attuale che incasinava Zenone: valgano come esempio la 3° definizione ed il 2° postulato degli Elementi (libro I):
"Nicolò Tartalea, nella traduzione degli Elementi (1565),":jzx19v0n:
3. La linea retta è la breuissima estensione da uno ponto ad un'altro, che riceue l'uno e l'altro di quelli nelle sue estremità.
[...]
2. Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare una retta linea terminata direttamente in continuo quanto ne pare
Noi diremmo rispettivamente "Un segmento è la linea più breve che congiunge due punti" e "Si può prolungare un segmento all'infinito in una retta". Insomma in Euclide non c'è la differenza moderna tra retta e segmento: l'una coincide con la possibilità di prolungare l'altro quanto si vuole; questo trucco consentiva di evitare l'uso "attuale" dell'infinito.
La difficoltà di trattare con l'infinito sono state superate, sia in ambito analitico sia in quello algebrico, in tempi relativamente recenti; basti pensare che il Cours d'Analyse di Cauchy, testo base dell'Analisi Matematica, è del 1821 e che Cantor ha lavorato alla distinzione tra diversi tipi di infinito intorno tra il 1874 ed il 1897.
Se si volevano sollevare problematiche "filosofiche", allora si sarebbe dovuto postare in un'altra sezione.
__________
* Ricordo che Euclide visse 150 anni dopo Zenone.
Basta la fisica classica, anzi basta Galileo.
Infatti è sufficiente scrivere decentemente le leggi orarie per rendersi conto che i diagrammi si incontrano in un punto
Se tu traduci in grafico il problema, dai per scontato che il movimento possa essere tradotto in rette.
Ma un grafico è qualcosa di statico.
Se immagini di tracciare le rette (quindi se il grafico è in fieri), avrai lo stesso problema: perchè dovrebbero incontrarsi se sono dotate di punti infiniti e fra un punto e l'altro c'è sempre un terzo punto? In realtà l'ipotesi del continuo mi appare in questi casi un gioco mentale svincolato dalla realtà.
Infatti io riesco a tracciare un segmento e sono sicuro che mentre lo faccio non ho tracciato infiniti punti.....GLi infiniti punti stanno solo nella mia mente...
Credo che stai facendo di tutto per svuotare di significato appositamente ogni soluzione del problema. I tuoi tipi di critiche sembrano essere rivolti al modo generale in cui la matematica viene applicata per risolvere un problema fisico. E' chiaro che se pretendi di applicare la matematica ad un problema di fisica devi tradurre in termini di oggetti matematici (rette, funzioni, equazioni) il problema fisico. Se non ti sta bene questo resti col tuo problema senza soluzione. Fatto sta che i modelli matematici usati per spiegare il paradosso fino ad ora funzionano... ed è quello che importa.
Credo che stai facendo di tutto per svuotare di significato appositamente ogni soluzione del problema
Non sto facendo di tutto: sarei ben felice di capire la soluzione proposta, ma non mi sembra una soluzione.
I tuoi tipi di critiche sembrano essere rivolti al modo generale in cui la matematica viene applicata per risolvere un problema fisico. E' chiaro che se pretendi di applicare la matematica ad un problema di fisica devi tradurre in termini di oggetti matematici (rette, funzioni, equazioni) il problema fisico
Ma Zenone ha incontrato un problema proprio a causa di questa "traduzione".
Io non "pretendo" di applicare la matematica: mi andrebbe bene una soluzione un po' più fisica, proprio perchè penso che il paradosso nasca per un'errata traduzione matematica di un fenomeno fisico.
Infatti il paradosso nasce proprio dal fatto che la sua traduzione matematica è errata. Tutte le soluzioni che ti sono state proposte sono convincenti, prima tra tutte quella più elementare postata da gugo82. La soluzione analitica che fa uso delle serie diciamo che viene incontro esattamente ai termini che Zenone ha usato per il suo paradosso, ovvero il problema di sommare infiniti elementi. Zenone era convinto (come tutti a quel tempo ma come biasimarli?) che una qualunque somma "infinita" divergesse, noi oggi diremmo, ma si sbagliava: esistono somme di infiniti elementi che sono limitate, ma la tua obiezione sul passaggio al limite cade, perchè la limitatezza, di per sé, non ha a che fare con il passaggio al limite.
Zenone era convinto (come tutti a quel tempo ma come biasimarli?) che una qualunque somma "infinita" divergesse
Io penso che anche se Zenone avesse saputo che una somma infinita può convergere rimarrebbe intatto il paradosso: questo perchè fra un punto e un altro della retta noi possiamo sempre porre un terzo punto: un'assunzione che non è dimostrata nella realtà del movimento. In poche parole, preso uno spostamento piccolissimo Epsilon, chi mi assicura che nel mondo reale e non in quello matematico esista la possibilità di uno spostamento più piccolo di quello?
Zenone lo dava per scontato, ma è vero?
la tua obiezione sul passaggio al limite cade, perchè la limitatezza, di per sé, non ha a che fare con il passaggio al limite.
Dovresti spiegarmi cosa intendi con passaggio al limite (ricorda che sono un po'...limitato nelle mie conoscenze matematiche!
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