Zenone
C'è una soluzione ai paradossi di Zenone?
HO letto che alcuni propongono come soluzione la teoria dei limiti (una somma di addendi infiniti può convergere a un limite finito), ma a me non sembra affatto una soluzione: anche Zenone lo sapeva che Achille si avvicina sempre di più (e quindi tende alla tartaruga). Ma tendere non significa raggiungere.
Le mie conoscenze si limitano a una matematica liceale.
[Personalmente mi sembra che l'unica soluzione sia pensare lo spazio come discreto e non continuo: pensare cioè esista un movimento minimo al di sotto del quale vi è la quiete. Se consideriamo questo movimento come uno spostamento da A a B, esso non avverrebbe attraversando tutti i punti da A a B, ma attraverso una sorta di "trasformazione" dallo stato A allo stato B].
HO letto che alcuni propongono come soluzione la teoria dei limiti (una somma di addendi infiniti può convergere a un limite finito), ma a me non sembra affatto una soluzione: anche Zenone lo sapeva che Achille si avvicina sempre di più (e quindi tende alla tartaruga). Ma tendere non significa raggiungere.
Le mie conoscenze si limitano a una matematica liceale.
[Personalmente mi sembra che l'unica soluzione sia pensare lo spazio come discreto e non continuo: pensare cioè esista un movimento minimo al di sotto del quale vi è la quiete. Se consideriamo questo movimento come uno spostamento da A a B, esso non avverrebbe attraversando tutti i punti da A a B, ma attraverso una sorta di "trasformazione" dallo stato A allo stato B].
Risposte
Esempio, così vediamo se ci può essere margine di dialogo oppure se siamo su pianeti diversi.
Secondo te le due proposizioni:
a. [tex]$x=0$[/tex],
b. per ogni [tex]$\varepsilon >0$[/tex] si ha \(-\varepsilon
sono equivalenti?
Nessuno.
Sono circa una cinquantina d'anni che si è capito che la Matematica è solo un mezzo per cercare di descrivere l'universo; diciamo che La Matematica fornisce dei modelli astratti da applicare al mondo fisico per ottenere previsioni. Questo è il significato moderno della legge fisica (mi pare lo dicesse Feynman, ma non ricordo bene...).
Zenone non aveva la Matematica necessaria da applicare alla situazione, ecco tutto.
D'altra parte, se la tua domanda è "com'è fatto veramente lo spazio", la risposta è: non lo sappiamo.
Possiamo solo fare delle ipotesi, le quali vengono usate per costruire modelli: tali modelli (e quindi la bontà delle ipotesi) vengono giudicati in base alla mole di eventi che possono prevedere. Tutto qui.
Secondo te le due proposizioni:
a. [tex]$x=0$[/tex],
b. per ogni [tex]$\varepsilon >0$[/tex] si ha \(-\varepsilon
sono equivalenti?
"flambeau":
In poche parole, preso uno spostamento piccolissimo Epsilon, chi mi assicura che nel mondo reale e non in quello matematico esista la possibilità di uno spostamento più piccolo di quello?
Nessuno.
Sono circa una cinquantina d'anni che si è capito che la Matematica è solo un mezzo per cercare di descrivere l'universo; diciamo che La Matematica fornisce dei modelli astratti da applicare al mondo fisico per ottenere previsioni. Questo è il significato moderno della legge fisica (mi pare lo dicesse Feynman, ma non ricordo bene...).
Zenone non aveva la Matematica necessaria da applicare alla situazione, ecco tutto.
D'altra parte, se la tua domanda è "com'è fatto veramente lo spazio", la risposta è: non lo sappiamo.
Possiamo solo fare delle ipotesi, le quali vengono usate per costruire modelli: tali modelli (e quindi la bontà delle ipotesi) vengono giudicati in base alla mole di eventi che possono prevedere. Tutto qui.
"flambeau":
Zenone lo dava per scontato, ma è vero?
No, dato che la relatà fisica è discreta (atomi).
gugo, sono in ansia per la risposta al tuo angoscioso quesito(è da quando ho "imparato" la teoria dei limiti che me lo chiedo).
Lo stesso problema secondo me ritorna nella definizione di derivata, in quel caso abbiamo la funzione rapporto incrementale di variabile $\Deltax$ che non può valere zero e quindi non può assumere il valore relativo a tale ascissa.Ma con la definizione di limite è come se la funzione valesse zero e quindi risucissi ad ottenere il valore corrispondente(che è la mia derivata in quel punto).
Secondo me la risposta alla tua domanda è si (anche perchè se fosse no allora non si risolverebbe il paradosso).
Lo stesso problema secondo me ritorna nella definizione di derivata, in quel caso abbiamo la funzione rapporto incrementale di variabile $\Deltax$ che non può valere zero e quindi non può assumere il valore relativo a tale ascissa.Ma con la definizione di limite è come se la funzione valesse zero e quindi risucissi ad ottenere il valore corrispondente(che è la mia derivata in quel punto).
Secondo me la risposta alla tua domanda è si (anche perchè se fosse no allora non si risolverebbe il paradosso).
Esempio, così vediamo se ci può essere margine di dialogo oppure se siamo su pianeti diversi.
Secondo te le due proposizioni:
a. ,
b. per ogni si ha ,
sono equivalenti?
Sì, sono assolutamente equivalenti.
Formulo in modo diverso il paradosso.
Sono una tartaruga così piccola da essere paragonabile a un punto.
Mi muovo su una retta.
Già questo è un paradosso, perchè muoversi sulla retta significa passare da un punto a un punto successivo (sennò dove mette il piedino la tartaruga?). Ma, se assumo l'ipotesi del continuo, non esiste il successivo di un punto.
Quindi una tartaruga non può muoversi su una retta.
Sono una tartaruga così piccola da essere paragonabile a un punto.
Mi muovo su una retta.
Già questo è un paradosso, perchè muoversi sulla retta significa passare da un punto a un punto successivo (sennò dove mette il piedino la tartaruga?). Ma, se assumo l'ipotesi del continuo, non esiste il successivo di un punto.
Quindi una tartaruga non può muoversi su una retta.
"flambeau":
[quote="gugo82"]Esempio, così vediamo se ci può essere margine di dialogo oppure se siamo su pianeti diversi.
Secondo te le due proposizioni:
a. [tex]$x=0$[/tex],
b. per ogni [tex]$\varepsilon >0$[/tex] si ha [tex]$-\varepsilon < x <\varepsilon$[/tex],
sono equivalenti?
Sì, sono assolutamente equivalenti.[/quote]
Allora il problema non è matematico. Meno male.
"flambeau":
Formulo in modo diverso il paradosso.
Sono una tartaruga così piccola da essere paragonabile a un punto.
Mi muovo su una retta.
Già questo è un paradosso, perchè muoversi sulla retta significa passare da un punto a un punto successivo (sennò dove mette il piedino la tartaruga?). Ma, se assumo l'ipotesi del continuo, non esiste il successivo di un punto.
Quindi una tartaruga non può muoversi su una retta.
Versione 2.0 del paradosso della dicotomia.
Il tuo problema è che pretendi di guardare con occhio matematico cose che matematiche non sono e viceversa.
Secondo te un punto ha bisogno di un piedino per muoversi? No.
E d'altra parte, un oggetto mobile (che sò, una stella, una galassia, una tartaruga, un pelide Achille dall'ira funesta...) ha bisogno di sapere se lo spazio è discreto o continuo per muoversi? No.
Come detto prima, il modello fisico non spiega com'è la realtà (discreta, continua, rossa, verde, sottosopra,...); si limita ad essere utile per fare previsioni.
Il modello di Galileo o la serie geometrica sono dei modelli che funzionano per Achille e la tartaruga (perchè prevedono una cosa che effettivamente accade); quelli dei paradossi di Zenone non lo sono.
Se scoprissimo che il nostro universo fosse descritto dalla geometria frattale meglio di quanto non lo sia adesso dalla geometria della Relatività Generale, allora probabilmente i paradossi di Zenone rappresenterebbero modelli di situazioni possibili.
Tuttavia (fortunatamente) non è questo il caso, almeno su scale piccole.
P.S.: Su un articolo abbastanza recente si usava la seguente frase per descrivere la situazione in cui ci mettono i paradossi di tipo Zenone:
If there’s a paradox here, it lies in the difficulty of combining individually operational
subsystems into an operational system.
[trad.: Se qui c'è un paradosso, esso sta nella difficoltà di assemblare blocchi che operano individualmente in un sistema che li contenga.]
Come detto prima, il modello fisico non spiega com'è la realtà (discreta, continua, rossa, verde, sottosopra,...); si limita ad essere utile per fare previsioni.
Il modello di Galileo o la serie geometrica sono dei modelli che funzionano per Achille e la tartaruga (perchè prevedono una cosa che effettivamente accade); quelli dei paradossi di Zenone non lo sono.
Se scoprissimo che il nostro universo fosse descritto dalla geometria frattale meglio di quanto non lo sia adesso dalla geometria della Relatività Generale, allora probabilmente i paradossi di Zenone rappresenterebbero modelli di situazioni possibili.
Tuttavia (fortunatamente) non è questo il caso, almeno su scale piccole.
Interessante!
Però evidentemente questo modello matematico non funziona poi così bene dati i paradossi.
Mi domando se si può parlare di "quanti di spazio", o di "quanti di spostamento" per risolvere questa aporia, se insomma qualcuno è a conoscenza di teorie di questo tipo.
"flambeau":Come detto prima, il modello fisico non spiega com'è la realtà (discreta, continua, rossa, verde, sottosopra,...); si limita ad essere utile per fare previsioni.
Il modello di Galileo o la serie geometrica sono dei modelli che funzionano per Achille e la tartaruga (perchè prevedono una cosa che effettivamente accade); quelli dei paradossi di Zenone non lo sono.
Se scoprissimo che il nostro universo fosse descritto dalla geometria frattale meglio di quanto non lo sia adesso dalla geometria della Relatività Generale, allora probabilmente i paradossi di Zenone rappresenterebbero modelli di situazioni possibili.
Tuttavia (fortunatamente) non è questo il caso, almeno su scale piccole.
Interessante!
Però evidentemente questo modello matematico non funziona poi così bene dati i paradossi.
Scusa flambeau, capire la frase:
"gugo82":
Il modello di Galileo o la serie geometrica sono dei modelli che funzionano per Achille e la tartaruga (perchè prevedono una cosa che effettivamente accade); quelli dei paradossi di Zenone non lo sono.
è così difficile?
Te la ripeto in parole più semplici: è l'approccio di Zenone alla questione ad essere sballato, non quello "nostro".
Ti abbiamo anche spiegato perchè.
Ma, per citare Luca, "Credo che stai facendo di tutto per svuotare di significato appositamente ogni soluzione del problema"; in altre parole, non c'è peggior sordo di chi non vuol sentire.
Sulla questione "spazio quantizzato" lascio la palla ai fisici.
Te la ripeto in parole più semplici: è l'approccio di Zenone alla questione ad essere sballato, non quello "nostro".
Probabilmente hai ragione, e io mi sto perdendo in elucubrazioni.
Tu dici "Il modello funziona" perchè prevede una cosa che accade.
Ma il tuo stesso modello (e non quello di Zenone!) prevede anche una cosa che non accade: l'impossibilità del movimento.
Sulla questione "spazio quantizzato" lascio la palla ai fisici.
Li attendiamo con ansia.
come già ti è stato detto:
credo non serva scomodare questioni come lo spazio quantizzato, che è fisica di frontiera, con cui hanno a che fare solo i fisici teorici delle stringhe o della cosmologia quantistica, senza cui tutte le cose che conosciamo al mondo, dai transistor alle galassie alle interazioni ad LHC, funzionano benissimo.
chiudo la discussione per evidente impossibilità di discutere.
credo non serva scomodare questioni come lo spazio quantizzato, che è fisica di frontiera, con cui hanno a che fare solo i fisici teorici delle stringhe o della cosmologia quantistica, senza cui tutte le cose che conosciamo al mondo, dai transistor alle galassie alle interazioni ad LHC, funzionano benissimo.
chiudo la discussione per evidente impossibilità di discutere.
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