Vorrei chiedervi una mano per questo esercizio

[yessa1]

Vorrei gentilmente chiedere una mano per la risoluzione di questo tipo di esercizi perché è la seconda volta hce finisco in integrali lunghi e vorrei capire se vi fosse strada più breve. Forse percorro una via troppo lunga.



Ho preso la sfera con asse x verso destra e centrata in O, essendo simmetria planare (filo) ho preso un sistema di riferimento xy.
Ho chiamato d/2 la parte di filo con y positive e -d/2 quello con lunghezza nelle y negative.

Sapendo per Gauss che $E=1/(4pi\epsilon_0)Q/r^2$

ricavo l mia dF per un tratto infinitesimo di filo: $dF=Edq$
ed essendo lineare la distribuzione $dq=\lambdadr$

ho

$dF=Q/(4pi\epsilon_0r^2)\lambda dl$

integro 2 volte tra 0 e d/2

$(Q\lambda)/(2pi\epsilon_0)\int_0^(d/2)1/r^2 dl$

Potendo scrivere r^2 che compare al denominatore come il quadrato della congiungente l'origine e il tratto con carica dq del filo: $r^2=R^2+l^2$

Devo risolvere l'integrale: $(Q\lambda)/(2pi\epsilon_0)\int_0^(d/2)1/(R^2+l^2) dl$

Con risultato:

$F=(Q\lambda)/(2pi\epsilon_0R)(arctg(d/(2R)))$

Questa volta però non riesco ad usare il consiglio di TeM del messaggio precedente per eliminarmi quel arctg, non capisco cosa sbagli, se ci siano vie migliori, se sia un risultato coerente.... molti dubbi

[RenzoDF]

"yessa":...
$dF=Q/(4pi\epsilon_0r^2)\lambda dl$

integro 2 volte tra 0 e d/2

$(Q\lambda)/(2pi\epsilon_0)\int_0^(d/2)1/r^2 dl$

Il filo carico sta su un solo lato della sfera e quindi, se con $r$ indichiamo il generico raggio dal centro della sfera,

$dF=Q/(4pi\epsilon_0r^2)\lambda dr$

andremo a integrare fra R e R+d

$F=(Q\lambda)/(4pi\epsilon_0)\int_R^(R+d)1/r^2 dr$

Ad ogni modo, bagli quando scrivi

Potendo scrivere r^2 che compare al denominatore come il quadrato della congiungente l'origine e il tratto con carica dq del filo: $r^2=R^2+l^2$

in quanto

$r^2=(R +l)^2$

[yessa1]

Credo di non esserci ma forse è solo una questione di nomenclatura che non mi ha fatto capire bene:

Con
- R ho indicato il raggio della sfera
- l è l'altezza variabile (diciamouna quota y generica) su cui andrò ad integrare avendo preso un dl
- d/2 è lalunghezza di mezza sbarra
- r ristanza O dal mio dl
(nota: ho chiamato dlma è su una singola "dimensione", è una quota y)

Non capisco quando affermi "$r^2=(R+l)^2$" a me sembra giusto usando pitagora che il modulo di $r^2=(sqrt(R^2+l^2))^2$

Forse intendi somma vettoriale? ma in teoria dovrebbe tornare anche come faccio io e dovrebbe tornare un valore in modulo.

[RenzoDF]

La "sbarra" è disposta radialmente e con una "estremità" a contatto con la sfera.

[yessa1]

vado a sotterrarmi


Grazie .