Vettori 2

[icchia-votailprof]

Salve a tutti,
qualcuno potrebbe verificare se lo svolgimento di questi esercizi è corretto? Grazie!

Dati i tre vettori
\[A = 3 u_x – 7 u_y + 2 u_z\]
\[B = – 5 u_x – u_y – u_z\]
\[C = – 7 u_x + 4 u_y + u_z\]
Determinare:
a)\[D = A + (B - C)\]
b)\[(A \cdot B) (B \cdot C)\]
c)\[(B \times A)\cdot A\]
d)\[(B \times A)\cdot C\]
e)\[(A \times B)\cdot D\]


Svolgimento n.1
a)\[D= 3 u_x – 7 u_y + 2 u_z+ ( (–5+7) u_x+ (-1-4) u_y+ (-1-1) u_z) = 3 u_x – 7 u_y + 2 u_z+ (2 u_x – 5 u_y- 2 u_z )\]
\[D = 5 u_x – 12 u_y\]

b)\[(-15 u_x+ 7 u_y- 2 u_z)( 35 u_x – 4 u_y- u_z) \]

c)\[B \times A=(-2-7) u_x—(-10+3)u_y+(35+3) u_z = -9u_x+7u_y+38u_z \]
\[(B \times A)\cdot A=(-9u_x+7u_y+38u_z )\cdot(3 u_x – 7 u_y + 2 u_z )=-27 u_x – 49 u_y + 76 u_z \]

d)\[(B \times A)\cdot C=(-9u_x+7u_y+38u_z )\cdot(–7 u_x + 4 u_y + u_z )=+ 63 u_x+ 28 u_y + 38 u_z \]

e)\[A \times B=(7+2) u_x—(-3+10)u_y+(-3-35) u_z = 9u_x-7u_y-38u_z \]
\[(A \times B)\cdot D=(9u_x-7u_y-38u_z )\cdot(5 u_x – 12 u_y )=-45 u_x + 84 u_y \]


DOMANDA: nel punto a) come si calcola l’angolo che D forma con l’asse delle X?

GRAZIE!!!

[5mrkv]

Per l'angolo puoi utilizzare le coordinate sferiche link. Hai
\[
\begin{split}
x&=r \sin \theta \cos \varphi \\
y&=r \sin \theta \sin \varphi \\
z&=r \cos \theta \\
\end{split}
\]
Dove
\[
\theta=cos^{-1}(z/||r||)
\]
è l'angolo del vettore con \(z\). Scambi le coordinate nelle formule precedenti in modo che \(\theta\) sia l'angolo del vettore con \(x\) quindi \((x,y,z)\rightarrow (y,z,x)\). Dovrebbe venire
\[
\begin{split}
||r||=(5^{2}+12^{2})^{1/2}&=13 \\
z \rightarrow x&=5 \\
\theta=cos^{-1}(5/13)&=1,17\ \mbox{(rad)}
\end{split}
\]

[chiaraotta1]

Oppure ....
Se $vec D = 5 vec i – 12 vec j$, allora l'angolo $theta$ fra $vec D$ e il semiasse $x$ positivo è $theta=arc tan (-12/5) ~=-1.18 \ rad$.

[icchia-votailprof]

Il procedimento di Chiarotta è quello che "conoscevo" anch'io cmq grazie a entrambi.
per il resto sono corretti?

[5mrkv]

"Icchietta":Il procedimento di Chiarotta è quello che "conoscevo" anch'io cmq grazie a entrambi.
per il resto sono corretti?

Boh, io l'ho scritto per un vettore qualsiasi. I calcoli non ho voglia di controllarli

[chiaraotta1]

Se con il simbolo $cdot$ intendi il prodotto scalare di due vettori, allora il risultato dell'operazione non è un vettore, ma un numero. Quindi non mi tornano i risultati di b), c), d) e).

Per
b)\[(A \cdot B) (B \cdot C)\]
$ vec A cdot vec B =3*(-5)+(-7)*(-1)+2*(-1)=-10$
$ vec B cdot vec C =-5*(-7)+(-1)*4+(-1)*1=30$
$ (vec A cdot vec B)( vec B cdot vec C)=-300$