Vettori
Il mio dubbio riguarda quest'esercizio:
Siano $v_1=(P_1, \vec i \ - \vec k \ )$, $v_2=(P_2, \vec i \ +2 \vec j \ )$,$v_3=(P_3, \vec j \ )$, dove $P_1=(-1,0,2)$, $P_2=(1,0,0)$, $P_3=(1,1,0)$
l'esercizio continua ma come suggerimento dice che "i tre vettori concorrono nel punto $P_2$"
Qui sorge il mio dubbio come faccio a dire se un punto appartiene al vettore o no ? e come faccio a capire se i vettori sono incidenti ?
Ringrazio chi mi aiuterà
Siano $v_1=(P_1, \vec i \ - \vec k \ )$, $v_2=(P_2, \vec i \ +2 \vec j \ )$,$v_3=(P_3, \vec j \ )$, dove $P_1=(-1,0,2)$, $P_2=(1,0,0)$, $P_3=(1,1,0)$
l'esercizio continua ma come suggerimento dice che "i tre vettori concorrono nel punto $P_2$"
Qui sorge il mio dubbio come faccio a dire se un punto appartiene al vettore o no ? e come faccio a capire se i vettori sono incidenti ?
Ringrazio chi mi aiuterà
Risposte
Rispolverando antichissimi ricordi di scuola, direi che basta scrivere le equazioni delle rette che passano per i punti di applicazione dei vettori e parallele ai vettori, e verificare se si incontrano e dove, con un sistema lineare.
La retta passante per un punto e parallela a un vettore, se ben ricordo, ha equazione:
$$\frac{{x - {x_0}}}
{{{V_x}}} = \frac{{y - {y_0}}}
{{{V_y}}} = \frac{{z - {z_0}}}
{{{V_z}}}$$
Prendendo la prima retta si ha:
$$\frac{{x + 1}}
{1} = \frac{y}
{0} = \frac{{z - 2}}
{{ - 1}}$$
ovvero:
$$\eqalign{
& y = 0 \cr
& x + 1 = - z + 2 \cr} $$
La seconda ha equazione:
$$\frac{{x - 1}}
{1} = \frac{y}
{2} = \frac{z}
{0}$$
ovvero
$$\eqalign{
& z = 0 \cr
& 2x - 2 = y \cr} $$
Facendo sistema comune si vede che si incontrano nel punto $$\left( {1,0,0} \right)$$
Basta adesso verificare anche la terza.
La retta passante per un punto e parallela a un vettore, se ben ricordo, ha equazione:
$$\frac{{x - {x_0}}}
{{{V_x}}} = \frac{{y - {y_0}}}
{{{V_y}}} = \frac{{z - {z_0}}}
{{{V_z}}}$$
Prendendo la prima retta si ha:
$$\frac{{x + 1}}
{1} = \frac{y}
{0} = \frac{{z - 2}}
{{ - 1}}$$
ovvero:
$$\eqalign{
& y = 0 \cr
& x + 1 = - z + 2 \cr} $$
La seconda ha equazione:
$$\frac{{x - 1}}
{1} = \frac{y}
{2} = \frac{z}
{0}$$
ovvero
$$\eqalign{
& z = 0 \cr
& 2x - 2 = y \cr} $$
Facendo sistema comune si vede che si incontrano nel punto $$\left( {1,0,0} \right)$$
Basta adesso verificare anche la terza.
Ciao.
Non sono sicuro di aver ben compreso il senso, ad esempio, della notazione $ v_1=(P_1, \vec i \ - \vec k \ ) $; si vorrebbe intendere, per caso
$v_1=hati-hatk-vec(OP_1)$ (vettore applicato nel punto $P_1$ che "termina" nel punto finale individuato da $hati-hatk$)?
Comunque, se le cose stanno come credo di aver capito (al di là del mio primo dubbio), probabilmente si dovrà considerare la retta contenente il vettore.
In sostanza: dati il vettore $vecv$ (applicato ad un punto $P_0$) e il punto $P$, direi che si dovrebbe introdurre
$r(t)=vec(OP_0)+tvecv$
quindi il punto $P$ "apparterrebbe al vettore $vecv$" se per un opportuno $t_1in[0,1)$ si avesse $r(t_1)=P$.
Discorso simile per i vettori incidenti.
Spero di aver "centrato" la questione e di non aver scritto inesattezze (lo ammetto, mi sono un po' "lanciato nel buio"..).
Saluti.
Non sono sicuro di aver ben compreso il senso, ad esempio, della notazione $ v_1=(P_1, \vec i \ - \vec k \ ) $; si vorrebbe intendere, per caso
$v_1=hati-hatk-vec(OP_1)$ (vettore applicato nel punto $P_1$ che "termina" nel punto finale individuato da $hati-hatk$)?
"faffaegnam":
Qui sorge il mio dubbio come faccio a dire se un punto appartiene al vettore o no ? e come faccio a capire se i vettori sono incidenti ?
Comunque, se le cose stanno come credo di aver capito (al di là del mio primo dubbio), probabilmente si dovrà considerare la retta contenente il vettore.
In sostanza: dati il vettore $vecv$ (applicato ad un punto $P_0$) e il punto $P$, direi che si dovrebbe introdurre
$r(t)=vec(OP_0)+tvecv$
quindi il punto $P$ "apparterrebbe al vettore $vecv$" se per un opportuno $t_1in[0,1)$ si avesse $r(t_1)=P$.
Discorso simile per i vettori incidenti.
Spero di aver "centrato" la questione e di non aver scritto inesattezze (lo ammetto, mi sono un po' "lanciato nel buio"..).
Saluti.
"Falco5x":
Rispolverando antichissimi ricordi di scuola, direi che basta scrivere le equazioni delle rette che passano per i punti di applicazione dei vettori e parallele ai vettori, e verificare se si incontrano e dove, con un sistema lineare.
La retta passante per un punto e parallela a un vettore, se ben ricordo, ha equazione:
$$\frac{{x - {x_0}}}
{{{V_x}}} = \frac{{y - {y_0}}}
{{{V_y}}} = \frac{{z - {z_0}}}
{{{V_z}}}$$
Se prendo la terza retta ottengo
$(x-1)=0,(y-1)/1=0,z=0$
che non passa per $P_2$
Come è possibile ?
La terza retta la scrivo (anche se con notazione impropria):
$$\frac{{x - 1}}
{0} = \frac{{y - 1}}
{1} = \frac{z}
{0}$$
E' vera per qualunque valore di y, per z=0 e x=1
Corrisponde a una retta parallela all'asse y e giacente sul piano z=0 e sul piano x=1.
Dunque passa per il punto (1,0,0).
$$\frac{{x - 1}}
{0} = \frac{{y - 1}}
{1} = \frac{z}
{0}$$
E' vera per qualunque valore di y, per z=0 e x=1
Corrisponde a una retta parallela all'asse y e giacente sul piano z=0 e sul piano x=1.
Dunque passa per il punto (1,0,0).
Quindi la terza retta è data da:
$ x=1$
$ z=0$
$ y-1=t$ con t $ in $ $ R $
Quindi essendo $t$ un parametro libero $y$ può assumere qualsiasi valore. Giusto ?
$ x=1$
$ z=0$
$ y-1=t$ con t $ in $ $ R $
Quindi essendo $t$ un parametro libero $y$ può assumere qualsiasi valore. Giusto ?
Sì.
Oppure, se vediamo una retta come l'intersezione di 2 piani, questa retta è l'intersezione del piano x=1 col piano z=0. L'ordinata y non comparendo, significa che può assumere qualunque valore.
Oppure, se vediamo una retta come l'intersezione di 2 piani, questa retta è l'intersezione del piano x=1 col piano z=0. L'ordinata y non comparendo, significa che può assumere qualunque valore.
Ok grazie mille sei stato di grande aiuto 
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