Versori polari
Ciao, vorrei cercare di chiarire un dubbio su versori polari.
Ho compreso che le coordinate polari sono dei parametri che mi indicano la posizione del punto con una dupla (cioè una coppia di parametri/coordinate che indicano la distanza dall'origine e l'angolo di apertura rispetto all'asse iniziale).
Il dubbio è invece correlato ai versori polari, cosa sono? Non riesco a concepirli nel senso che sono dei vettori diretti uno come la direzione radialeel'altro tangente al movimento (arco) creato da esso.
Però mentre i versori cartesiani sommati danno un punto nello spazio quando moltiplicati per lo scalare (coordinata), questi polari no! Non hanno un senso nella somma tipica a parallelogramma. Però vengono moltiplicati per gli scalari distanza e apertura dell'angolo suddetti, pur non avendo senso nella somma vettoriale sono dei vettori unitari mah.
Insomma, non li capisco bene.
Ho compreso che le coordinate polari sono dei parametri che mi indicano la posizione del punto con una dupla (cioè una coppia di parametri/coordinate che indicano la distanza dall'origine e l'angolo di apertura rispetto all'asse iniziale).
Il dubbio è invece correlato ai versori polari, cosa sono? Non riesco a concepirli nel senso che sono dei vettori diretti uno come la direzione radialeel'altro tangente al movimento (arco) creato da esso.
Però mentre i versori cartesiani sommati danno un punto nello spazio quando moltiplicati per lo scalare (coordinata), questi polari no! Non hanno un senso nella somma tipica a parallelogramma. Però vengono moltiplicati per gli scalari distanza e apertura dell'angolo suddetti, pur non avendo senso nella somma vettoriale sono dei vettori unitari mah.
Insomma, non li capisco bene.
Risposte
Però mentre i versori cartesiani sommati danno un punto nello spazio quando moltiplicati per lo scalare (coordinata), questi polari no! Non hanno un senso nella somma tipica a parallelogramma.
Non è cosí. Guarda il paragrafo 3.1 di questo capitolo del corso di Fisica di Tullio Papa. I versori radiale e tangenziale permettono di fare le somme “a parallelogramma” , come dici.
Sotto lo spoiler seguente ho messo delle pagine di un corso base di meccanica celeste :
si può dire che i versori polari sono “locali” , perchè variano al variare di $r$ e di $theta$ , le loro derivate rispetto al tempo non sono nulle.
@mat.pasc
Qui trovi un altro approccio per vedere come esprimere in coordinate polari velocità e accelerazioni, potrebbe esserti utile per chiarirti le idee con un altro punto di vista.
Le coordinate polari lì hanno un diverso legame con gli assi cartesiani $x$ e $y$ perché sono state usate per il classico problema del pendolo semplice (puoi vedere quella discussione dall'inizio), ma ovviamente il succo non cambia.
(Comunque quanto riportato da Shackle va più che bene per capire tutto, questo qui è un altro modo, vedi tu se ti è utile o no).
Qui trovi un altro approccio per vedere come esprimere in coordinate polari velocità e accelerazioni, potrebbe esserti utile per chiarirti le idee con un altro punto di vista.
Le coordinate polari lì hanno un diverso legame con gli assi cartesiani $x$ e $y$ perché sono state usate per il classico problema del pendolo semplice (puoi vedere quella discussione dall'inizio), ma ovviamente il succo non cambia.
(Comunque quanto riportato da Shackle va più che bene per capire tutto, questo qui è un altro modo, vedi tu se ti è utile o no).
Grazie mille!
Rispondo con due punti ai vostri spunti e letture:
1)
Hai ragione, sono stato impreciso: permettono di farlo però nelle velocità e accelerazioni, ma non hanno senso nella scrittura della posizione, voglio cioè dire che
- mentre nel cartesiano: $x\vece_x+y\vece_y$ prende senso mettendo le coordinate davanti al versore e sommando scare moltiplicato per versore all'altro trovo il vettore che punta il punto P nello spazio.
- non ha senso invece in polari scrivere: $rho\vece_rho+theta\vece_theta$, cioè immaginando theta e rho siano l'angolo e la distanza dal polo, una scrittura del genere non è per nulla un vettore quando sommati. Nelle velocità invece sì, la somma ha proprio senso. Per questo li trovo dei versori strani.
2) Ho letto tutti i link e devo dire che è stupefacente aver visto due modi di procedere: quello di Tullio Papa e quello di Faussone dare lo stesso risultato. Più che altro perché mentre in T.P c'è una sorta di rotazione, cioè vedo i versori che si sono spostati e puntano in direzioni diverse punto per punto, quello di Faussone definisce il legamen per componenti e poi le scompone su assi ancora cartesiani ma girati che saranno i polari (se ho ben capito). E' un metodo più profondo che forse non mi è ancora del tutto chiaro.
Correggetemi pure se ho detto cose errate
e grazie.
Rispondo con due punti ai vostri spunti e letture:
1)
I versori radiale e tangenziale permettono di fare le somme “a parallelogramma” , come dici
Hai ragione, sono stato impreciso: permettono di farlo però nelle velocità e accelerazioni, ma non hanno senso nella scrittura della posizione, voglio cioè dire che
- mentre nel cartesiano: $x\vece_x+y\vece_y$ prende senso mettendo le coordinate davanti al versore e sommando scare moltiplicato per versore all'altro trovo il vettore che punta il punto P nello spazio.
- non ha senso invece in polari scrivere: $rho\vece_rho+theta\vece_theta$, cioè immaginando theta e rho siano l'angolo e la distanza dal polo, una scrittura del genere non è per nulla un vettore quando sommati. Nelle velocità invece sì, la somma ha proprio senso. Per questo li trovo dei versori strani.
2) Ho letto tutti i link e devo dire che è stupefacente aver visto due modi di procedere: quello di Tullio Papa e quello di Faussone dare lo stesso risultato. Più che altro perché mentre in T.P c'è una sorta di rotazione, cioè vedo i versori che si sono spostati e puntano in direzioni diverse punto per punto, quello di Faussone definisce il legamen per componenti e poi le scompone su assi ancora cartesiani ma girati che saranno i polari (se ho ben capito). E' un metodo più profondo che forse non mi è ancora del tutto chiaro.
Correggetemi pure se ho detto cose errate
e grazie.
"mat.pasc":
[...]- non ha senso invece in polari scrivere: $rho\vece_rho+theta\vece_theta$, cioè immaginando theta e rho siano l'angolo e la distanza dal polo, una scrittura del genere non è per nulla un vettore quando sommati. Nelle velocità invece sì, la somma ha proprio senso. Per questo li trovo dei versori strani.
Sì, devi tener conto che il sistema di riferimento polare è un sistema di riferimento, nel senso che permette di individuare univocamente un punto qualunque nello spazio date le coordinate, ma non è un sistema cartesiano quindi non puoi trattare i versori come per il cartesiano.
La principale differenza è che le direzioni radiali e circonferenziali non sono per così dire "univoche" ma dipendono dalla posizione del punto considerato.
"mat.pasc":
[...] è stupefacente aver visto due modi di procedere: quello di Tullio Papa e quello di Faussone dare lo stesso risultato. Più che altro perché mentre in T.P c'è una sorta di rotazione, cioè vedo i versori che si sono spostati e puntano in direzioni diverse punto per punto, quello di Faussone definisce il legamen per componenti e poi le scompone su assi ancora cartesiani ma girati che saranno i polari (se ho ben capito). E' un metodo più profondo che forse non mi è ancora del tutto chiaro.
Non è tanto stupefacente: i due modi per derivare la posizione di un punto e ottenere velocità e accelerazioni sono infatti del tutto equivalenti. In uno tieni conto direttamente del fatto che i versori radiale e circonferenziale cambiano direzione se il punto si muove nel tempo, l'altro parte dalle velocità e accelerazioni scritte nel sistema cartesiano e poi trova le componenti polari considerando l'orientazione delle direzioni radiali e circonferenziali rispetto alle cartesiane.
Ti ringrazio molto Faussone mi sembra molto più chiaro.
Mi avete messo a posto le idee con le vostre risposte.
Mille grazie
Mi avete messo a posto le idee con le vostre risposte.
Mille grazie
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