Versore normale ad una curva

[frnero]

Salve avevo una domanda sul versore normale ad una curva, per la determinazione di tale versore ho usato la 2 formula di Frent con relativa dimostrazione. Non riesco a capire da dove posso ricavare il verso che il versore n possiede(caso mai con una piccola dimostrazione), avete qualche suggerimento?

Grazie per la disponibilità

[Spremiagrumi1]

Un primo suggerimento è quello di scrivere nella sezione geometria, quando ho dato l'esame di geometria differenziale mi hanno aiutato molto. Provo comunque a risponderti

Scriviamo le formule di Frenet ($T$ vettore tangente, $B$ binormale, $N$ normale, $k$ curvatura, $tau$ torsione ) per curve con velocità arbitraria

$T'=vkN$
$N'=-vkT+vtauB$
$B'=-vtauN$

dici che hai usato la dimostrazione per la seconda quindi immagino abbia anche le altre.
Prendiamo adesso una curva $alpha$ qualsiasi (non parametrizzata con ascissa curvilinea e con modulo di velocità qualsiasi), la sua velocità sarà
$alpha'=vT$, vettore tangente per modulo
E la sua accelerazione
$alpha''=(dv)/dtT+v^2kN$

la prima è logica e la seconda la si dimostra con le formule di Frenet.

Sempre dalla prima ricaviamo

$T=(alpha')/(||alpha'||)$
$(||alpha'||)=v$ naturalmente

mentre eseguendo il prodotto
$alpha'xxalpha''=vTxx((dv)/dtT+kv^2N)=v(dv)/dtTxxT+kv^3TxxN=kv^3B$ dove ho usato il fatto che $TxxN=B$

ora si ha che $||B||=1$ per definizione e allora $||alpha'xxalpha''||=kv^3$

quindi abbiamo che

$B=(alpha'xxalpha)/(||alpha'xxalpha''||)$

Ma se $TxxN=B$ allora permutando gli indici si trova $N=BxxT$ ma per definire sia $T$ che $B$ abbiamo usato solo la nostra curva $alpha$ e le sue derivate, quindi il segno di $N$ è ben definito (sarà quello della curva o delle sue derivate o dei vari prodotti etc) basta fare il calcolo $N=BxxT$ e il segno che trovi è il segno giusto.