Verso della corrente indotta
Una spira quadrata di lato a=10cm, resistenza R=0,2 ohm e massa m=40g, si trova al limite di una regione di spazio nella quale è presente un campo magnetico uniforme e costante B=2T, perpendicolare al piano della spira. si vuole far entrare completamente la spira nel campo magnetico. A tal fine, all'istante T=0, la spira viene lanciata verso il campo magnetico con una velocità iniziale v=1,5m/s. Determinare:
a)il verso della corrente indotta nella spira mente essa entra nel campo magnetico. (Fatto)
b)la velocità finale della spira una volta entrata nel campo;
c)il tempo impiegato dalla spira per entrare completamente all'interno del campo;
d)la quantità di carica che scorre nella spira durante il suo ingresso nel campo.
Mi calcolo la forza elettromotrice indotta come la derivata nel tempo del flusso del campo magnetico:
$\epsilon=-(d(\Theta(B)))/dt=-Ba v$
Una volta che mi trovo la corrente indotta come :
$i_(Ind)=\epsilon/R=-1.5A$
come capisco il verso della corrente?
a)il verso della corrente indotta nella spira mente essa entra nel campo magnetico. (Fatto)
b)la velocità finale della spira una volta entrata nel campo;
c)il tempo impiegato dalla spira per entrare completamente all'interno del campo;
d)la quantità di carica che scorre nella spira durante il suo ingresso nel campo.
Mi calcolo la forza elettromotrice indotta come la derivata nel tempo del flusso del campo magnetico:
$\epsilon=-(d(\Theta(B)))/dt=-Ba v$
Una volta che mi trovo la corrente indotta come :
$i_(Ind)=\epsilon/R=-1.5A$
come capisco il verso della corrente?
Risposte
Chiaramente il verso cambia se guardi la spira da sopra o da sotto 
Comunque: puoi usare la legge di Lenz, per cui la corrente indotta è tale da diminuire la variazione del flusso; qui il flusso aumenta, per cui la corrente deve produrre un campo $vecB$ opposto a quello esistente.
In alternativa, puoi pensare che la forza di Lorentz che si esercita sul lato perpendicolare alla velocità, immerso nel campo $vecB$, deve essere frenante, ossia deve avere verso opposto a $vecv$
Comunque: puoi usare la legge di Lenz, per cui la corrente indotta è tale da diminuire la variazione del flusso; qui il flusso aumenta, per cui la corrente deve produrre un campo $vecB$ opposto a quello esistente.
In alternativa, puoi pensare che la forza di Lorentz che si esercita sul lato perpendicolare alla velocità, immerso nel campo $vecB$, deve essere frenante, ossia deve avere verso opposto a $vecv$
quindi in questo caso usando la legge di Lenz e guardando la spira da sopra, la corrente indotta genera un campo magnetico uscente e di conseguenza la corrente indotta ha verso antiorario
"mari.98":
quindi in questo caso usando la legge di Lenz e guardando la spira da sopra, la corrente indotta genera un campo magnetico uscente e di conseguenza la corrente indotta ha verso antiorario
ammesso che il campo $vecB$ preesistente sia entrante...
"mgrau":
ammesso che il campo $vecB$ preesistente sia entrante...
Si da come si vede dall'immagine rappresentata nella traccia il C.M. è entrante
il secondo punto dell'esercizio l'ho svolto cosi:
Dalla seconda legge diT LaPlace so che la forza che risente della spira per effetto della presenza del campo magnetico è pari a
$F= i B a$
poichè sappiamo che la forza è uguale a massa per accelerazione e che quest' ultima è la derivata della velocità rispetto al te possiamo dire che
$iBa = m (dV(t))/dt $
$Ba(-Ba (dX(t)))/(Rdt)=m (dV(t))/dt $
$ -(B^2 a^2 (dX(t)))/R= m dV(t)$
$ - (B^2 a^3) /R=m(Vf-V_o)$
$Vf= V_o -(B^2 a^3 )/Rm=1m/s$
E' giusto svolgere il secondo punto così?
Dalla seconda legge diT LaPlace so che la forza che risente della spira per effetto della presenza del campo magnetico è pari a
$F= i B a$
poichè sappiamo che la forza è uguale a massa per accelerazione e che quest' ultima è la derivata della velocità rispetto al te possiamo dire che
$iBa = m (dV(t))/dt $
$Ba(-Ba (dX(t)))/(Rdt)=m (dV(t))/dt $
$ -(B^2 a^2 (dX(t)))/R= m dV(t)$
$ - (B^2 a^3) /R=m(Vf-V_o)$
$Vf= V_o -(B^2 a^3 )/Rm=1m/s$
E' giusto svolgere il secondo punto così?
per il terzo punto ho considerato che la velocità si può scrivere come:
$V(t)=(dX(t))/dt$
moltiplicando tutto per $dt$ ottengo
$V(t)dt=dX(t)$
$\int_{x_o}^{x} dx=V\int_{t_o}^{t} dt$
$X-X_o=V(t-t_o)$
sapendo che $t_o=0$ e che $X-X_o= a$
il tempo affinchè la spira entri completamente all'interno della spira è
$t= a/V=(0,10 m)/(1m/s)=0,10 s$
$V(t)=(dX(t))/dt$
moltiplicando tutto per $dt$ ottengo
$V(t)dt=dX(t)$
$\int_{x_o}^{x} dx=V\int_{t_o}^{t} dt$
$X-X_o=V(t-t_o)$
sapendo che $t_o=0$ e che $X-X_o= a$
il tempo affinchè la spira entri completamente all'interno della spira è
$t= a/V=(0,10 m)/(1m/s)=0,10 s$
Mi sembra un approccio molto disinvolto alle eq. differenziali...
Senza entrare in dettagli matematici che non sono il mio forte, si vede che la forza frenante, e quindi l'accelerazione, è proporzionale a $v$, e questo porta subito ad un andamento di $v(t)$ come un esponenziale decrescente, tipo $v(t) = v_0*e^(-alphat)$, con un appropriato $alpha$.
Per il punto 3 si tratta di trovare $T$ in modo che lo spazio percorso fra $0$ e $T$, ossia l'integrale $int_0^T v(t)dt$, sia uguale ad $a$. Nota che, in generale, non è detto che esista, nel senso che la spira potrebbe non entrare mai del tutto.
Dopo di che, il punto 2 dà $v_f = v(T)$
Senza entrare in dettagli matematici che non sono il mio forte, si vede che la forza frenante, e quindi l'accelerazione, è proporzionale a $v$, e questo porta subito ad un andamento di $v(t)$ come un esponenziale decrescente, tipo $v(t) = v_0*e^(-alphat)$, con un appropriato $alpha$.
Per il punto 3 si tratta di trovare $T$ in modo che lo spazio percorso fra $0$ e $T$, ossia l'integrale $int_0^T v(t)dt$, sia uguale ad $a$. Nota che, in generale, non è detto che esista, nel senso che la spira potrebbe non entrare mai del tutto.
Dopo di che, il punto 2 dà $v_f = v(T)$
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