Verificare che il campo elettrico è conservativo

[MrMojoRisin891]

Ciao a tutti, stavo guardando questa verifica sulla conservatività della forza elettrica, ma ho un dubbio a capire un passaggio. Nella prima pagina, seconda figura, dove fa vedere che $\hatr d\vec l = dr$, quali osservazioni ha usato? Il primo uguale è la definizione stessa di prodotto scalare, prodotto dei moduli per coseno dell'angolo compreso (in questo caso $\hat r$ va considerato come un vettore di norma unitaria con centro sulla "punta" della freccia del vettore $\vec r$ e parallelo a esso?); ma perché poi il tutto è uguale a $dr$?
Grazie

[professorkappa]

Il prodotto scalare dei 2 vettori e' pari al prodotto dei moduli per il coseno.
Il prodotto dei moduli e' $1*dl=dl$.

$dl*costheta$ e; la proiezione di $dl$ su r, che e' dr.

Alternativamente:

$vecr=r*hatr$
$dvecr=dr*hatr+r*dhatr$

Ma dalla figura $dvecl=dvecr$ (basta notare che nel triangolo $vecr+dvec(l)=vecr+vec(dr)$ per avere l'equivalenza). Quindi puoi scrivere

$dvecl=dr*hatr+r*dhatr$

Moltiplicando scalarmente per $hatr$ entrambi i membri

$hatr*dvecl=hatr*dr*hatr+hatr*r*dhatr$

A secondo membro, il primo addendo diventa $dr$. Il secondo addendo si annulla, perche $dhatr$ e' ortogonale a $hatr$.

Quindi $hatr*dvecl=dr$

[donald_zeka]

E' una dimostrazione abbastanza inutile, basta dimostrare che qualunque campo centrale dipendente da $f(r)$ ammette potenziale $U=intf(r)dr$

[professorkappa]

Certo. Ma la domanda non era quella.
La domanda era: Perche' $hatr*dvecl=dr$

[MrMojoRisin891]

grazie professorkappa!