Verifica forza conservativa

[gianni.k91]

ciao ragazzi
ho questa forza: $F(x,y)=(x+y+1)i+(y^2+x-3)j$
devo verificare se è conservativa..col rotore, devo fare il prodotto vettoriale del gradiente per la forza e vedere che sia 0..
non so come fare però.. se avete pazienza mi scrivete almeno i primi passaggi?XD

[enr87]

nel tuo caso non serve ricorrere al rotore, infatti hai un campo a valori in $RR^2$.
basta che verifichi che la derivata rispetto a y della prima componente è uguale a quella in x della seconda: solo in questo caso il campo è conservativo, essendo in un dominio semplicemente connesso.

[gianni.k91]

"enr87":nel tuo caso non serve ricorrere al rotore, infatti hai un campo a valori in $RR^2$.
basta che verifichi che la derivata rispetto a y della prima componente è uguale a quella in x della seconda: solo in questo caso il campo è conservativo, essendo in un dominio semplicemente connesso.

questo lo so..ma mi si chiede di farlo col rotore, e io non so dove mettere mani

[enr87]

è la stessa cosa alla fine, devi solo porre la terza componente nulla. insomma basta fare due conti, niente di che

[gianni.k91]

$ nabla ^^F=det( ( i , j , k ),( . ,. , . ),( . ,. ,. ) ) $

non riesco a capire cosa ci va nella seconda e terza riga!

sarà l'ora ma non riesco

[yoshiharu]

"gianni.k91":$ nabla ^^F=det( ( i , j , k ),( . ,. , . ),( . ,. ,. ) ) $

non riesco a capire cosa ci va nella seconda e terza riga!

sarà l'ora ma non riesco

Per essere precisi, il rotore in due dimensioni e' uno (pseudo)-scalare, che si scrive semplicemente [tex]\partial_x V_y -\partial_y V_x[/tex]. Questo lo puoi vedere dalla espressione in termini di forme differenziali, perche' e' (a parte fattori 2) la derivata esterna di [tex]V_x dx + V_y dy[/tex]. Che deve fare zero se il campo e' conservativo. In un insieme semplicemente connesso e' vero anche il viceversa.
Se non ti piacciono le forme differenziali puoi sempre fare il rotore del campo tridimensionale [tex](V_x(x,y),V_y(x,y),0)[/tex] (che e' un po' artificiale, se vogliamo...)

[gianni.k91]

grazie