Velocità trasversa in coordinate polari
Salve a tutti. Sto studiando l'espressione della velocità in coordinate polari: nel calcolo della velocità istantanea, la derivata temporale della componente trasversa interessa solo l'angolo teta formato dal raggio vettore r nel tempo e non il versore u di teta associato alla variazione del versore u di r. Il mio professore ha detto che è perché u di teta e u di r sono perpendicolari ma non riesco a capire bene perché questo giustificherebbe il fatto che u di teta non venga interessato dall'operazione di derivazione. grazie a tutti in anticipo
Risposte
Non so se ho ben capito il tuo dubbio, ma il versore trasverso non è presente nella espressione del vettore posizione, dunque derivando quest'ultimo non può comparire la derivata del versore trasverso! Il versore trasverso compare invece nella derivata del versore radiale.
I passaggi sono i seguenti:
$$\eqalign{
& {\bf{r}} = r{{\bf{u}}_{\bf{r}}} \cr
& {\bf{\dot r}} = \dot r{{\bf{u}}_{\bf{r}}} + r{{{\bf{\dot u}}}_{\bf{r}}} \cr
& {{{\bf{\dot u}}}_{\bf{r}}} = \dot \theta {{\bf{u}}_\theta } \cr
& {\bf{\dot r}} = \dot r{{\bf{u}}_{\bf{r}}} + r\dot \theta {{\bf{u}}_\theta } \cr} $$
I passaggi sono i seguenti:
$$\eqalign{
& {\bf{r}} = r{{\bf{u}}_{\bf{r}}} \cr
& {\bf{\dot r}} = \dot r{{\bf{u}}_{\bf{r}}} + r{{{\bf{\dot u}}}_{\bf{r}}} \cr
& {{{\bf{\dot u}}}_{\bf{r}}} = \dot \theta {{\bf{u}}_\theta } \cr
& {\bf{\dot r}} = \dot r{{\bf{u}}_{\bf{r}}} + r\dot \theta {{\bf{u}}_\theta } \cr} $$
Ecco, la mia domanda riguarda il terzo passaggio: perché la derivata del versore radiale è uguale soltanto alla derivata dell'angolo e il versore u di teta non rientra nella derivazione?
La derivata del versore $u_r$ si vede facilmente in modo geometrico.
Essendo un versore unitario, quando varia può solo ruotare, perché la sua lunghezza deve restare invariata e pari a 1. Dunque se ruota di un angolo $d\theta$ si ha la situazione di figura, nella quale appare chiaro che il vettore $du_r$ è allineato col versore $u_(\theta)$:
Si ha dunque:
$$\eqalign{
& \left| {{\bf{d}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}}} \right| = \left| {{{\bf{u}}_{\bf{r}}}} \right|d\theta = 1 \cdot d\theta = d\theta \cr
& {\bf{d}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}} = d\theta {{\bf{u}}_\theta } \cr
& \frac{{{\bf{d}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}}}}
{{dt}} = \frac{{d\theta }}
{{dt}}{{\bf{u}}_\theta } \cr} $$
Essendo un versore unitario, quando varia può solo ruotare, perché la sua lunghezza deve restare invariata e pari a 1. Dunque se ruota di un angolo $d\theta$ si ha la situazione di figura, nella quale appare chiaro che il vettore $du_r$ è allineato col versore $u_(\theta)$:
Si ha dunque:
$$\eqalign{
& \left| {{\bf{d}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}}} \right| = \left| {{{\bf{u}}_{\bf{r}}}} \right|d\theta = 1 \cdot d\theta = d\theta \cr
& {\bf{d}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}} = d\theta {{\bf{u}}_\theta } \cr
& \frac{{{\bf{d}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}}}}
{{dt}} = \frac{{d\theta }}
{{dt}}{{\bf{u}}_\theta } \cr} $$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo