Velocità relative - momento angolare
Due sferette puntiformi di masse $m$ sono vincolate alle estremità di una sbarretta di massa trascurabile e lunghezza $l$, poggiata senza attrito su un piano orizzontale. Siano $V_1$ e $V_2$ (intesi come vettori) le velocità iniziali delle due sfere.
a) Mostrare che la velocità relativa di una sfera rispetto all'altra è ortogonale alla sbarretta
b) Calcolare il momento angolare totale rispetto al centro di massa O del sistema.
[Per il punto a) sono piuttosto incerta: con velocità relativa dovrei intendere la sottrazione vettoriale della velocità $V_1$ e $V_2$? Come faccio non avendo le inclinazioni delle velocità?
Per il punto b) ho pensato che il centro di massa, essendo le due masse identiche, si troverà a metà della sbarra. E' ovvio che se le due velocità fossero perpendicolari alla sbarra, il momento angolare sarebbe dato da $L=ml/2(V_1+V_2)$, ma in effetti non so l'inclinazione di queste velocità (anche se in effetti, se iniziano a muoversi intorno a quest'asta dovrebbero avere delle velocità tangenziali alla circonferenza che descrivono..) Grazie del vostro aiuto]
a) Mostrare che la velocità relativa di una sfera rispetto all'altra è ortogonale alla sbarretta
b) Calcolare il momento angolare totale rispetto al centro di massa O del sistema.
[Per il punto a) sono piuttosto incerta: con velocità relativa dovrei intendere la sottrazione vettoriale della velocità $V_1$ e $V_2$? Come faccio non avendo le inclinazioni delle velocità?
Per il punto b) ho pensato che il centro di massa, essendo le due masse identiche, si troverà a metà della sbarra. E' ovvio che se le due velocità fossero perpendicolari alla sbarra, il momento angolare sarebbe dato da $L=ml/2(V_1+V_2)$, ma in effetti non so l'inclinazione di queste velocità (anche se in effetti, se iniziano a muoversi intorno a quest'asta dovrebbero avere delle velocità tangenziali alla circonferenza che descrivono..) Grazie del vostro aiuto]
Risposte
mah, non mi e' molto chiara la dinamica, se le sferette si muovessero nel verso della sbarretta il tutto non sarebbe verificato.
per il punto b credo si possa ragionare a questa maniera: dato che il centro di massa si muove, e il problema chiede di calcolare il momento angolare rispetto al centro di massa(il che equivale a considerare un sistema in movimento solidale al centro di massa) ti ricavi la velocita' del centro di massa dalla relazione $Mt*Vcm=m1*v1+m2*v2$
quindi calcoli le velocita' relative delle 2 masse con la relazione $v(assoluta)=v(relativa)+v(tra)$ dove $v(tra)$ e' quella del centro di massa, o meglio del nostro sistema di riferimento ad esso solidale.
quindi dato che le velocita' che ci interessano per calcolare il momento angolare sono appunto quelle "relative", basta trovarle per sostituzione nella formula precedente e usarle in $mvl/2$ come avevi gia' fatto te
per il punto b credo si possa ragionare a questa maniera: dato che il centro di massa si muove, e il problema chiede di calcolare il momento angolare rispetto al centro di massa(il che equivale a considerare un sistema in movimento solidale al centro di massa) ti ricavi la velocita' del centro di massa dalla relazione $Mt*Vcm=m1*v1+m2*v2$
quindi calcoli le velocita' relative delle 2 masse con la relazione $v(assoluta)=v(relativa)+v(tra)$ dove $v(tra)$ e' quella del centro di massa, o meglio del nostro sistema di riferimento ad esso solidale.
quindi dato che le velocita' che ci interessano per calcolare il momento angolare sono appunto quelle "relative", basta trovarle per sostituzione nella formula precedente e usarle in $mvl/2$ come avevi gia' fatto te
È un esercizio dedicato al calcolo vettoriale.
Se $\vec(x_1)$ e $\vec(x_2)$ sono le coordinate delle due particelle nel sistema del laboratorio, la condizione che si trovino alle estremità di una sbarra di lunghezza costante $l$ è $(\vec(x_1)-\vec(x_2))^2=l^2$. Derivando questa equazione rispetto al tempo, si ottiene $(\vec(x_1)-\vec(x_2))*(\dot{\vec(x_1)}-\dot{\vec(x_2)})=\vec{l}*(\vec{v_1}-\vec{v_2})=0$ che indica proprio il fatto che la velocità relativa è ortogonale alla sbarra (se non c'è rotazione la velocità relativa è nulla).
Il centro di massa è $\vec{R}_{CM}=\frac{1}{2}(\vec{x}_1+vec{x}_2)$ , e la sua velocità $\vec{V}_{CM}=\frac{1}{2}(\vec{v}_1+vec{v}_2)$, e coordinate e velocità delle particelle nel sistema del CM diventano
$\vec{r}_1 = \vec{x}_1 - \vec{R}_{CM} = frac{1}{2}(\vec{x}_1-vec{x}_2)=frac{1}{2}\vec{l}$
$\vec{r}_2 = \vec{x}_2 - \vec{R}_{CM} = frac{1}{2}(\vec{x}_2-vec{x}_1)=-frac{1}{2}\vec{l}$
$\dot{\vec{r}_1} = \vec{v}_1 - \vec{V}_{CM} = frac{1}{2}(\vec{v}_1-vec{v}_2)$
$\dot{\vec{r}_2} = \vec{v}_2 - \vec{V}_{CM} = frac{1}{2}(\vec{v}_2-vec{v}_1)$
(notare che nel sistema del CM $dot{\vec{r}_1}+dot{\vec{r}_2} = 0$).
Il momento angolare nel CM è $\vec{L}=m\vec{r}_1 X \dot{vec{r}_1 + m\vec{r}_2 X \dot{vec{r}_2=\frac{1}{2}m\vec{l} X (\vec{v}_1 - vec{v}_2)$. Per verificare che la relazione riproduca le situazioni elementari, controlliamo due casi di riferimento:
a.) il movimento del sistema è puramente traslatorio: allora $\vec{v}_1 - vec{v}_2=0$, e $\vec{L}=0$, come atteso.
b.) il movimento è puramente rotatorio, allora $\vec{v}_1 = - vec{v}_2 = \vec(v)$ (ortogonale alla sbarra), e $L=mlv$, anche questo un risultato atteso.
Se $\vec(x_1)$ e $\vec(x_2)$ sono le coordinate delle due particelle nel sistema del laboratorio, la condizione che si trovino alle estremità di una sbarra di lunghezza costante $l$ è $(\vec(x_1)-\vec(x_2))^2=l^2$. Derivando questa equazione rispetto al tempo, si ottiene $(\vec(x_1)-\vec(x_2))*(\dot{\vec(x_1)}-\dot{\vec(x_2)})=\vec{l}*(\vec{v_1}-\vec{v_2})=0$ che indica proprio il fatto che la velocità relativa è ortogonale alla sbarra (se non c'è rotazione la velocità relativa è nulla).
Il centro di massa è $\vec{R}_{CM}=\frac{1}{2}(\vec{x}_1+vec{x}_2)$ , e la sua velocità $\vec{V}_{CM}=\frac{1}{2}(\vec{v}_1+vec{v}_2)$, e coordinate e velocità delle particelle nel sistema del CM diventano
$\vec{r}_1 = \vec{x}_1 - \vec{R}_{CM} = frac{1}{2}(\vec{x}_1-vec{x}_2)=frac{1}{2}\vec{l}$
$\vec{r}_2 = \vec{x}_2 - \vec{R}_{CM} = frac{1}{2}(\vec{x}_2-vec{x}_1)=-frac{1}{2}\vec{l}$
$\dot{\vec{r}_1} = \vec{v}_1 - \vec{V}_{CM} = frac{1}{2}(\vec{v}_1-vec{v}_2)$
$\dot{\vec{r}_2} = \vec{v}_2 - \vec{V}_{CM} = frac{1}{2}(\vec{v}_2-vec{v}_1)$
(notare che nel sistema del CM $dot{\vec{r}_1}+dot{\vec{r}_2} = 0$).
Il momento angolare nel CM è $\vec{L}=m\vec{r}_1 X \dot{vec{r}_1 + m\vec{r}_2 X \dot{vec{r}_2=\frac{1}{2}m\vec{l} X (\vec{v}_1 - vec{v}_2)$. Per verificare che la relazione riproduca le situazioni elementari, controlliamo due casi di riferimento:
a.) il movimento del sistema è puramente traslatorio: allora $\vec{v}_1 - vec{v}_2=0$, e $\vec{L}=0$, come atteso.
b.) il movimento è puramente rotatorio, allora $\vec{v}_1 = - vec{v}_2 = \vec(v)$ (ortogonale alla sbarra), e $L=mlv$, anche questo un risultato atteso.
"Cmax":
Se $\vec(x_1)$ e $\vec(x_2)$ sono le coordinate delle due particelle nel sistema del laboratorio, la condizione che si trovino alle estremità di una sbarra di lunghezza costante $l$ è $(\vec(x_1)-\vec(x_2))^2=l^2$.
Cosa intendi con "laboratorio"? Per il resto ho capito..
È un modo in cui viene chiamato il sistema dell'osservatore, giusto per distinguerlo da quello del centro di massa.
"Cmax":
Il momento angolare nel CM è $\vec{L}=m\vec{r}_1 X \dot{vec{r}_1 + m\vec{r}_2 X \dot{vec{r}_2=\frac{1}{2}m\vec{l} X (\vec{v}_1 - vec{v}_2)$.
Questo calcolo mi è oscuro.. $X$ è un prodotto vettoriale?
si...è un prodotto vettoriale...
ma già alle superiori ti fanno lavorare in questi termini?
beata te!avessi avuto io dei professori così!quanti problemi in meno...
ma già alle superiori ti fanno lavorare in questi termini?
beata te!avessi avuto io dei professori così!quanti problemi in meno...
elios, ma sei alle superiori? In questo caso temo di essere andato un po' oltre. La risoluzione proposta è rivolta ad uno studente del primo anno di università. Forse è anche adatta per uno studente dell'ultima classe di liceo, ma un po' sopra la media.
molto sopra alla media!
c'è gente all'università(e non poca!)che queste cose non le sa fare!
c'è gente all'università(e non poca!)che queste cose non le sa fare!
Diciamo che mi spremono un po'... 
Comunque ho capito tutto il procedimento, la derivazione non la so ancora fare propriamente, ma so che significato fisico ha, quindi è abbastanza chiaro, Grazie!!
Comunque ho capito tutto il procedimento, la derivazione non la so ancora fare propriamente, ma so che significato fisico ha, quindi è abbastanza chiaro, Grazie!!
ma infatti senza derivazione è un pò un casino fare fisica a questi livelli!
cmq complimenti!continua così e ti troverai la strada spianata all'uni!quanto tempo guadagnato!
cmq complimenti!continua così e ti troverai la strada spianata all'uni!quanto tempo guadagnato!
Eh, prima o poi si soffre.. è sempre così..!
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