Velocità nel moto relativo...un dubbio
Consideriamo un punto $P$ che si muove lungo una traiettoria. Consideriamo una terna cartesiana $(x,y,z)$ con centro in $O$ e la chiamiamo sistema fisso. Ora consideriamo un'altra terna cartesiana$(x^('), y^('), z^(') )$ con origine in $O'$ e la chiamiamo sistema mobile.
Sappiamo inoltre che $r= r^(') + OO^(')$
$r= x*u_x + y*u_y + z*u_z $ con $u_x , u_y, u_z$ versori indipendenti dal tempo perchè ci troviamo sul sistema fisso.
$r^(')= x^(')*u_(x') + y^(')*u_(y') + z^(')*u_(z') $ con $u_(x') , u_(y'), u_(z')$ versori dipendenti dal tempo perchè ci troviamo sul sistema mobile.
$OO^(')= x_(o')* u_x + y_(o')*u_y + z_(o')*u_z $
derivo rispetto al tempo $r= r^(') + OO^(')$:
$v= frac{dr}{dt} = frac{dr'}{dt} + frac{dOO'}{dt} = frac{dx_(o')}{dt}*u_x + frac{dy_(o')}{dt}*u_y+frac{dz_(o')}{dt}*u_z + frac{dx'}{dt}*u_(x') + frac{dy'}{dt}*u_(y')+frac{dz'}{dt}*u_(z') + frac{du_x}{dt}*x' + frac{du_y}{dt}*y'+frac{du_z}{dt}*z' $
Adesso non capisco ...perchè il libro $frac{dr'}{dt} $ la considera giustamente come derivata di un prodotto tra funzioni mentre $frac{dOO'}{dt}$ no?
Cioè, non mancano i tre termini : $frac{du_x}{dt}*dx_(o') + frac{du_y}{dt}*dy_(o')+frac{du_z}{dt}*dz_(o')$ ??
Sappiamo inoltre che $r= r^(') + OO^(')$
$r= x*u_x + y*u_y + z*u_z $ con $u_x , u_y, u_z$ versori indipendenti dal tempo perchè ci troviamo sul sistema fisso.
$r^(')= x^(')*u_(x') + y^(')*u_(y') + z^(')*u_(z') $ con $u_(x') , u_(y'), u_(z')$ versori dipendenti dal tempo perchè ci troviamo sul sistema mobile.
$OO^(')= x_(o')* u_x + y_(o')*u_y + z_(o')*u_z $
derivo rispetto al tempo $r= r^(') + OO^(')$:
$v= frac{dr}{dt} = frac{dr'}{dt} + frac{dOO'}{dt} = frac{dx_(o')}{dt}*u_x + frac{dy_(o')}{dt}*u_y+frac{dz_(o')}{dt}*u_z + frac{dx'}{dt}*u_(x') + frac{dy'}{dt}*u_(y')+frac{dz'}{dt}*u_(z') + frac{du_x}{dt}*x' + frac{du_y}{dt}*y'+frac{du_z}{dt}*z' $
Adesso non capisco ...perchè il libro $frac{dr'}{dt} $ la considera giustamente come derivata di un prodotto tra funzioni mentre $frac{dOO'}{dt}$ no?
Cioè, non mancano i tre termini : $frac{du_x}{dt}*dx_(o') + frac{du_y}{dt}*dy_(o')+frac{du_z}{dt}*dz_(o')$ ??
Risposte
"qwerty90":
derivo rispetto al tempo $r= r^(') + OO^(')$:
$v= frac{dr}{dt} = frac{dr'}{dt} + frac{dOO'}{dt} = frac{dx_(o')}{dt}*u_x + frac{dy_(o')}{dt}*u_y+frac{dz_(o')}{dt}*u_z + frac{dx'}{dt}*u_(x') + frac{dy'}{dt}*u_(y')+frac{dz'}{dt}*u_(z') + frac{du_x}{dt}*x' + frac{du_y}{dt}*y'+frac{du_z}{dt}*z' $
Adesso non capisco ...perchè il libro $frac{dr'}{dt} $ la considera giustamente come derivata di un prodotto tra funzioni mentre $frac{dOO'}{dt}$ no?
Cioè, non mancano i tre termini : $frac{du_x}{dt}*dx_(o') + frac{du_y}{dt}*dy_(o')+frac{du_z}{dt}*dz_(o')$ ??
Attento qwerty, gli ultimi tre termini sono errati ! Devi derivare i versori mobili , non i versori fissi! Ricordati delle formule di Poisson!
La derivata di $OO'$ va bene ( sono i tre primi temini dopo il segno $=$) , poichè i versori dei componenti di $OO'$ sono i versori fissi .
"peppensionato45":
Attento qwerty, gli ultimi tre termini sono errati ! Devi derivare i versori mobili , non i versori fissi! Ricordati delle formule di Poisson!
La derivata di $OO'$ va bene ( sono i tre primi temini dopo il segno $=$) , poichè i versori dei componenti di $OO'$ sono i versori fissi .
Ma sono versori fissi perchè dipendono dal sistema fisso?
"qwerty90":
[quote="peppensionato45"]
Attento qwerty, gli ultimi tre termini sono errati ! Devi derivare i versori mobili , non i versori fissi! Ricordati delle formule di Poisson!
La derivata di $OO'$ va bene ( sono i tre primi temini dopo il segno $=$) , poichè i versori dei componenti di $OO'$ sono i versori fissi .
Ma sono versori fissi perchè dipendono dal sistema fisso?[/quote]
Non è che "dipendono", sono i versori del sistema fisso di coordinate, costanti nel tempo ! Perciò non vanno derivati . Devi derivare solo le componenti dei vettori espressi in loro funzione, e basta.
Quelli che invece variano nel tempo sono i versori degli assi mobili , quindi quando derivi un vettore riferito agli assi del sistema mobile devi derivare non solo le componenti ma anche i relativi versori ( mobili!) , e in questo ti vengono in aiuto le formulette di Poisson . Le conosci?
"peppensionato45":
[quote="qwerty90"][quote="peppensionato45"]
Attento qwerty, gli ultimi tre termini sono errati ! Devi derivare i versori mobili , non i versori fissi! Ricordati delle formule di Poisson!
La derivata di $OO'$ va bene ( sono i tre primi temini dopo il segno $=$) , poichè i versori dei componenti di $OO'$ sono i versori fissi .
Ma sono versori fissi perchè dipendono dal sistema fisso?[/quote]
Non è che "dipendono", sono i versori del sistema fisso di coordinate, costanti nel tempo ! Perciò non vanno derivati . Devi derivare solo le componenti dei vettori espressi in loro funzione, e basta.
Quelli che invece variano nel tempo sono i versori degli assi mobili , quindi quando derivi un vettore riferito agli assi del sistema mobile devi derivare non solo le componenti ma anche i relativi versori ( mobili!) , e in questo ti vengono in aiuto le formulette di Poisson . Le conosci?[/quote]
Si le conosco
$frac{du_x}{dt} = omega_z * u_y - omega_y * u_z = omega xx u_x $
e così via... per $u_y$ e $u_z$
Ti ringrazio
Ok , Qwerty , le conosci , però ti invito a prestare attenzione : ripeto che devi derivare i versori del sistema mobile , quelli con l 'apice insomma !! Non quelli fissi, eh ! Ormai dovresti aver compreso perchè.
Suppongo che tu stia facendo queste derivate per ricavare l'importante relazione che intercorre tra velocità assoluta , vel relativa e velocità di trascinamento : $\vecv_a=\vecv_r+\vecv_(tr)" .
Sai anche il significato delle tre velocità suddette , in particolare la velocità di trascinamento : $\vecv_(tr)$ è la velocità che ha quel punto dello spazio mobile che , nell'istante considerato, coincide col punto P in esame . E sai anche che lo spazio mobile si muove come " corpo rigido" , e che " ogni atto di moto rigido è elicoidale " (Mozzi) .
Suppongo che tu stia facendo queste derivate per ricavare l'importante relazione che intercorre tra velocità assoluta , vel relativa e velocità di trascinamento : $\vecv_a=\vecv_r+\vecv_(tr)" .
Sai anche il significato delle tre velocità suddette , in particolare la velocità di trascinamento : $\vecv_(tr)$ è la velocità che ha quel punto dello spazio mobile che , nell'istante considerato, coincide col punto P in esame . E sai anche che lo spazio mobile si muove come " corpo rigido" , e che " ogni atto di moto rigido è elicoidale " (Mozzi) .
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