Velocità nei moti relativi

[TS778LB]

Consideriamo un sistema di riferimento inerziale $S$ con assi $x$, $y$, $z$, ed uno $S'$ con centro nel centro di massa di un generico corpo rigido ed assi $x'$, $y'$, $z'$ che traslano mantenendo orientamento fisso rispetto ad $S$. Consideriamo due generici punto del copro: $\Omega$ e $P$. Siano $\vecr_\Omega$ e $\vecr_P$ i vettori che individuano la posizione dei due punti in S. Si verifica che:
$\vec{\OmegaP}=\vecr_P-\vecr_\Omega$
Deriviamo entrambi i membri di questa relazione:
$ \frac{d\vec{\OmegaP}}{dt}=\frac{d(\vecr_P-\vecr_{\Omega})}{dt}=\vecv_P-\vecv_{\Omega} $
Per le caratteristiche di indeformabilità di un corpo rigido vale che il modulo di $\vec{OmegaP}$ sia costante e quindi:
$ \frac{d\vec{\OmegaP}}{dt}=\vec\omega\wedge\vec\{OmegaP}=\vecv_P-\vecv_{\Omega}$
Dove $\vec\omega$ è la velocità angolare attorno all'asse istantaneo di rotazione passante per $\Omega$
Quindi:
$\vecv_P=\vecv_{\Omega}+\vec\omega\wedge\vec\{OmegaP}$
Ho un dubbio in questo passaggio:
$\frac{d(\vecr_P-\vecr_{\Omega})}{dt}=\vecv_P-\vecv_{\Omega} $
I due vettori posizione in generale variano sia in modulo che direzione quando visti da $S$. Nella loro derivata non dovrebbe essere presente una qualche componente rotazionale?
Grazie in anticipo!

[donald_zeka]

Ma no, ma cos'è questo sistema inerziale? non esiste niente di inerziale in meccanica razionale! E' meccanica "razionale", non esiste nient'altro che non sia razionale, non esiste il sistema di riferimento delle stelle fisse o altro, esistono solo riferimento/osservatori definiti a priori che vedono un certo campo di velocità!
Inoltre c'è un paio di errori. Vuoi determinare il campo di velocità di un corpo rigido? Oppure il campo di velocità tra due osservatori che traslano e ruotano tra loro? Inoltre $omega$ NON è la velocità angolare attorno all'asse di istantanea rotazione passante per $Omega$! (l'asse di isttantanea rotazione NON lo decidi tu dove passa e inoltre NON è detto che esista, ciò che esiste è l'asse di moto ma non c'entra nulla)

[TS778LB]

Vorrei avere un'idea generale di come si arriva alla relazione che intercorre tra la velocità di due punti di un copro rigido:

"TS778LB":
$ \vecv_P=\vecv_{\Omega}+\vec\omega\wedge\vec\{OmegaP} $

[Faussone]

"TS778LB":
Ho un dubbio in questo passaggio:
$\frac{d(\vecr_P-\vecr_{\Omega})}{dt}=\vecv_P-\vecv_{\Omega} $
I due vettori posizione in generale variano sia in modulo che direzione quando visti da $S$. Nella loro derivata non dovrebbe essere presente una qualche componente rotazionale?

Occhio che $\frac{d \vecr_P}{dt} \equiv vecv_p$ per definizione di velocità.
Finisce lì.


Poi dalla definizione di vettore velocità angolare, se $vec P$ è un punto solidale con una terna dotata di velocità angolare $vec omega$ , allora discende che:
$\frac{d \vecr_P}{dt} =vec omega times vecr_P$
ma sono due cose distinte.

[donald_zeka]

La questione è essenzialmente questa:

Si hanno "due spazi" in moto relativo tra loro, lo "spazio fisso" e lo "spazio mobile", lo spazio mobile è il nostro corpo rigido, lo spazio fisso è un osservatore che osserva tale corpo e ne valuta la cinematica (non c'è niente di inerziale o meno, questo è un qualunque osservatore/riferimento che osserva un moto rigido, si tratta di cinematica, non ci interessano le forze).
Sia $Sigma(Omega, i,j,k)$ una terna fissa sullo spazio fisso con origine in $Omega$ e $S(O,e_1,e_2,e_3)$ una solidale con lo spazio mobile nel punto O appartenente allo spazio mobile. Vogliamo valutare la velocità di un punto P solidale con lo spazio mobile, vista dallo spazio fisso. Possiamo quindi scrivere:

$P-Omega=(P-O)+(O-Omega)$

Deriviamo quindi rispetto al tempo "rispetto allo spazio fisso" (ossia facciamo la derivata vista dallo spazio fisso):

$(d(P-Omega))/(dt)|_Sigma $ $= (d(P-O))/(dt)|_Sigma$ $+(d(O-Omega))/(dt)|_Sigma$

Ma:


$(d(P-Omega))/(dt)|_Sigma$ $=v(P)$

e

$(d(O-Omega))/(dt)|_Sigma$ $=v(O)$

E inoltre, il termine $(P-O)$ rappresenta la posizione del punto P rispetto alla terna solidale, tale posizione è "invariante" rispetto allo spazio mobile, ma varia rispetto allo spazio fisso, e tale variazione è pari a:

$(d(P-O))/(dt)|_Sigma$ $=omega xx (P-O)$
Come dice il terema di Poisson, quindi in definitiva:

$v(P)=v(O)+omega xx(P-O)$


la relazione :

$(d(P-O))/(dt)|_Sigma$ $=omega xx (P-O)$

Può essere generalizzata nel caso in cui lo spazio mobile non sia uno spazio rigido, ma sia un generico spazio in cui i punti P possono variare la loro posizione rispetto a questo spazio, ossia quanto il vettore $(P-O)$ varia anche rispetto allo spazio mobile, in tal caso vale:

$(d(P-O))/(dt)|_Sigma$ $=(d(P-O))/(dt)|_S$ $+omega xx (P-O)$

Ossia la derivata temporale del vettore P-O valutata dallo spazio $Sigma$ è pari alla derivata temporale di (P-O) valutata dallo spazio S più il termine $omega xx (P-O)$, questa si chiama derivata di Poisson:

$d/(dt)|_Sigma$ $=d/(dt)|_S$ $+omega xx$

Ed è valida per qualsiasi "quantità" vettoriale/tensoriale che viene valutata da due spazi in moto relativo tra loro, non solo per i vettori posizione! Un risultato molto interessante.

[donald_zeka]

Ovviamente con la derivta di Poisson si possono ricavare in pochi passaggi le relazioni tra le velocità e le accelerazioni viste da due spazi generici roto-traslanti tra loro.

Infatti per quanto riguarda le velocità è sempice:

$v(P)=v_R(P)+v(O)+omega xx (P-O)$

DOve rispetto alla formula dei moti rigidi si è aggiunto il termine $v_R(P)$ corrispondnte alla derivata di (P-O) valutata dallo spazio mobile (la cosiddetta velocità relativa).

Derivando ancora rispetto allo spazio fisso si ha:

$a(P)=a(O)+(d omega)/(dt) xx (P-O)$ $+omega xx (d(P-O))/(dt)|_Sigma$ $+ (dv_R(P))/(dt)|_Sigma$

Ricordando ancora che dalla derivata di Poisson:

$(d(P-O))/(dt)|_Sigma$ $=v_R(P)+omega xx (P-O)$

E che anche:

$(dv_R(P))/(dt)|_Sigma$=$a_R(P)+omega xx v_R(P)$

SI ottiene la nota relazione tra le accelerazioni.