Velocità in funzione dello spazio per un moto viscoso

[bug54]

Salve,
stavo considerando un moto viscoso del tipo $m ((dv)/(dt))=mg-bv$
la cui soluzione per la velocità in funzione del tempo è, come notorio:
$v(t)=v_L-(v_L-v_0)exp(-t/\tau)$, invece non riesco a trovare la velocità in funzione della posizione.
Usando la relazione $v=dx/dt$ l'eq. del moto diventa:
$(vdv)/(g-Av)=dx$ dove per semplicità ho introdotto la costante $A=1/\tau$, con $\tau=m/b$ (tempo di rilassamento).
Integrando fra $v_0 e v$ e fra $0 e x$ si ha
$x=-(g/A^2) ln(g-Av)-v/A+(g/A^2) ln(g-Av_0)+v_0/A$
e da questa espressione mii pare impossibile scivere v(x)=....

[Faussone]

Premesso che non ho capito bene che considerazioni hai fatto per arrivare all'integrale finale, comunque dall'ultima espressione a cui sei arrivato puoi ricavare $v(x)$.

Tieni conto che in generale $A*ln(z) -A*ln(w)=A(ln (z) -ln(w))=A ln (z/w)$

[bug54]

Ho fatto solo dei passaggi algebrici che non ho riportato per non appesantire, comunque procedendo con i conticini arrivo all'espressione finale $v_Lln(v_L-v(x))+v(x)=k-(b/m)x$ da cui si vede che non è possibile ottenere una soluzione in forma chiusa, si dovrà quindi procedere con il calcolo numerico. E' corretto?

[ingres]

C'è qualcosa che non torna. Partiamo dall'equazione in termini di spazio delle fasi ovvero

$m*(dv)/(dx)*(dx)/(dt) = mg - bv$

$(dv)/(dx)*v = g - b/m*v$

Si tratta di un'equazione a variabili separabili per cui:

$(v*dv)/(g-b/m*v) = dx$

Ponendo $tau = m/b$ e $v_L = (mg)/b$

$-tau* int_(v_0)^v (v*dv)/(v-v_L) = int_0^x dx$

$ x = tau*(v_0-v+v_L*ln((v_0-v_L)/(v-v_L)))$

Per controprova verifichiamo nel dominio del tempo integrando

$v(t) = v_L + (v_0-v_L) e^(-t/tau)$

$x(t) = v_L*t +tau*(v_0-v_L)*(1-e^(-t/tau))$

ed essendo:

$e^(-t/tau) = (v-v_L)/(v_0-vL)$
$t = -tau*ln((v-v_L)/(v_0-vL))$

sostituendo si ritrova lo stesso risultato per x(v).

Considerazioni

1) La soluzione con omogenea associata e soluzione particolare non è purtroppo applicabile perchè l'equazione dello spazio delle fasi è un'equazione differenziale non lineare.

2) Non è possibile ottenere esplicitamente v= v(x) in quanto l'equazione contiene sia $v$ che $ln(v-v_L)$, ma è possibile avere x(v) oppure la curva in forma parametrica (x(t), v(t)), il che dovrebbe essere sufficiente.

[Faussone]

"ingres":
La soluzione con omogenea associata e soluzione particolare non è purtroppo applicabile perchè l'equazione dello spazio delle fasi è un'equazione differenziale non lineare.

Cancello la mia precedente risposta, a questo punto inutile e dannosa. Grazie per la correzione.

[bug54]

Si è la stessa espressione da me postata, non sempre la natura ci accontenta con soluzioni esatte!
Grazie del contributo