Velocità in funzione dello spazio e molle
Salve a tutti, spero possiate aiutarmi sul seguente dubbio. Ogni volta che in un problema è presente una molla e ho dati a sufficienza per applicare la formula della velocità in funzione dello spazio ($ vf^2=v0^2+2a(xf-x0) $) risulta che applicando quest'ultima il risultato differisce da quello ottenuto tramite altre strade (spesso considerazioni energetiche). Ad esempio: se una massa m collegata ad una parete da una molla si muove verso la parete con velocità v0, quale dovrà essere la costante k della molla affinché il blocco si fermi in uno spazio d.
Se lo risolvo tramite considerazione energetiche trovo:
$ 1/2 mv0^2 = 1/2 kd^2 $, da cui $ k=(m (v0)^2/d^2) $.
Applicando invece la legge della velocità trovo esattamente la metà di questo risultato. Dove sbaglio? E possibile che la decelerazione della molla non sia costante? Grazie in anticipo
Se lo risolvo tramite considerazione energetiche trovo:
$ 1/2 mv0^2 = 1/2 kd^2 $, da cui $ k=(m (v0)^2/d^2) $.
Applicando invece la legge della velocità trovo esattamente la metà di questo risultato. Dove sbaglio? E possibile che la decelerazione della molla non sia costante? Grazie in anticipo
Risposte
Nessuno sa aiutarmi? Io penso che l'errore risieda proprio nel fatto che la legge di Hooke è approssimativa e dovrebbe valere solo per piccole deformazioni. Possibile?
"giuseppe.b_02":
...E possibile che la decelerazione della molla non sia costante?
Come potrebbe essere costante?
"giuseppe.b_02":
... Io penso che l'errore risieda proprio nel fatto che la legge di Hooke è approssimativa e dovrebbe valere solo per piccole deformazioni. Possibile?
Che la legge di Hooke sia una approssimazione del reale comportamento è sicuro, ma in questo caso si suppone valida indipendentemente dalla deformazione, visti i dati è sottinteso che lo sia.
Bene grazie molte. Comunque in questi casi mi pare di aver capito che vado sul sicuro con la conservazione dell'energia.
Ciao, quando dici:
che formula intendi esattamente? o meglio, da dove viene fuori e, soprattutto, cosa è $a$?
applicare la formula della velocità in funzione dello spazio ($ vf^2=v0^2+2a(xf-x0) $)
che formula intendi esattamente? o meglio, da dove viene fuori e, soprattutto, cosa è $a$?
"giuseppe.b_02":
... mi pare di aver capito che vado sul sicuro con la conservazione dell'energia.
Vista la linearità della forza frenante rispetto allo spazio, in questo caso particolare, la tua prima relazione è uguale alla seconda e quindi puoi usarla come alternativa risolutiva.
"Lampo1089":
Ciao, quando dici:
applicare la formula della velocità in funzione dello spazio ($ vf^2=v0^2+2a(xf-x0) $)
che formula intendi esattamente? o meglio, da dove viene fuori e, soprattutto, cosa è $a$?
$ vf=vi+at $
Grazie alla linearità di questa equazione possiamo scrivere:
$ v,media=(vi+vf)/2 $
Quindi possiamo scrivere $ xf-x i=v,media *t $ come $ xf-x i=1/2 (vf+v i) *t $
Se isoliamo il tempo dalla prima relazione e lo sostituiamo nell'ultima si trova proprio la formula che ho scritto sopra. La a è l'accelerazione. Questa formula è molto utile in cinematica quando non si hanno informazioni temporali. Ovviamente va usata solamente quando sono presenti accelerazioni costanti nel tempo. Per questo mi chiedevo se l'accelerazione della molla è costante. Il fatto è che per la legge di Hooke sembra esserlo. Infatti per il secondo principio della dinamica applicato al problema di sopra dovremmo avere:
$ Sigma F=kd=ma $
Quindi ricavando l'accelerazione e sostituendo nella formula della velocità dovrei poter trovare k, mentre in realtà trovo la metà del risultato trovato con la conservazione dell'energia. L'unica spiegazione è che l'accelerazione non sia costante, e penso sia proprio cosi, ma non riesco a trovare una giustificazione "matematica".
ma non riesco a trovare una giustificazione "matematica"
con una forza di richiamo 1-dimensionale di una molla del tipo:
\[
F = - k x
\]
hai che (2a legge newton)
\[
a = \frac{F}{m} = - k \frac{x}{m}
\]
e quindi, a posizioni diverse del corpo rispetto alla posizione di riposo della molla corrispondono accelerazioni istantanee diverse.
Di conseguenza, la formula che hai derivato in questa situazione non è applicabile (anche perché un ulteriore "smell" nella tua formula sarebbe la scelta dell'accelerazione da inserire nella formula, quale useresti? quella al tempo finale? quella al tempo iniziale? quella media? e così via ...), come tu stesso hai notato.
Però, commento a latere ma non troppo, dovrebbe essere abbastanza evidente che l'accelerazione non possa essere costante, data la natura oscillatoria e periodica del movimento
Si in effetti è abbastanza palese, infatti è la prima cosa che ho pensato. Grazie a tutti per l'aiuto!
Con il mio precedente messaggio intendevo dire che, vista la linearità della forza e quindi dell’accelerazione, nella tua prima relazione, bastava usare l’accelerazione media.
"RenzoDF":
Con il mio precedente messaggio intendevo dire che, vista la linearità della forza e quindi dell’accelerazione, nella tua prima relazione, bastava usare l’accelerazione media.
Intendi $ a=(af + ai)/2 $ con ai= 0 (dato che nella posizione di equilibrio la forza è nulla)?
Perfetto, grazie mille.
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