Velocità in funzione del tempo
Sto studiando il paragrafo della velocità, non mi è chiaro un passaggio in un esercizio guidato, ecco quì:
Si determini, per una slitta, (slitta che si muove sempre più lentamente, man mano che arriva alla cima e poi prende a scivolare giù, all'indietro, giù per il pendio), un espressione della componente della velocità di $ v_x(t) $ come funzione del tempo.
Ecco, il testo mi fa i seguenti passaggi:
$ x(t) = 18m + (12m/s)*t - (1.2m/(s^2))t^2 $
Correggetemi se sbaglio.....
$ 18m= $ lo spostamento in $ x $ .
$ (12m/s)*t= $ è la velocità per un tempo $ t $, velocità in salita.
$ (1.2m/(s^2))t^2= $ è l'accellerazione per un tempo $ t^2 $, nella discesa della slitta.
Va bene fin quì
Ovviamente si ha un polinomio in $ t $ , cioè:
$ x(t) = 18m + y*t - xt^2 $
Giusto?
Il testo dice che: ci serviamo della regola per il calcolo della derivata di una potenza di $ t $ , e quì comincio a non capire!
Cosa è questa
$ d/(dt)*t^n=nt^(n-1) $
mi sembra che si tratti del coefficiente angolare della retta, solo che non riesco a capire i passaggi come vengono svolti per arrivare ai passaggi che seguono!?!?!?
Ho compreso correttamente il suo sitnificato
Poi non capisco questi ultimi tre passaggi:
$ v_x(t) =d/(dt) [18m + (12m/s)*t - (1.2m/(s^2))t^2] $
$ v_x(t) = (12m/s)*t - 2(1.2m/(s^2))t $
Dove è andato a finire il $ 18m $ e perchè si trova quel $ 2 $ e manca il $ t^2 $
E poi arriva alla fine con questa:
$ v_x(t) = (12m/s)*t - (2.4m/(s^2))t $
Help!!!!
Si determini, per una slitta, (slitta che si muove sempre più lentamente, man mano che arriva alla cima e poi prende a scivolare giù, all'indietro, giù per il pendio), un espressione della componente della velocità di $ v_x(t) $ come funzione del tempo.
Ecco, il testo mi fa i seguenti passaggi:
$ x(t) = 18m + (12m/s)*t - (1.2m/(s^2))t^2 $
Correggetemi se sbaglio.....
$ 18m= $ lo spostamento in $ x $ .
$ (12m/s)*t= $ è la velocità per un tempo $ t $, velocità in salita.
$ (1.2m/(s^2))t^2= $ è l'accellerazione per un tempo $ t^2 $, nella discesa della slitta.
Va bene fin quì
Ovviamente si ha un polinomio in $ t $ , cioè:
$ x(t) = 18m + y*t - xt^2 $
Giusto?
Il testo dice che: ci serviamo della regola per il calcolo della derivata di una potenza di $ t $ , e quì comincio a non capire!
Cosa è questa $ d/(dt)*t^n=nt^(n-1) $
mi sembra che si tratti del coefficiente angolare della retta, solo che non riesco a capire i passaggi come vengono svolti per arrivare ai passaggi che seguono!?!?!?
Ho compreso correttamente il suo sitnificato
Poi non capisco questi ultimi tre passaggi:
$ v_x(t) =d/(dt) [18m + (12m/s)*t - (1.2m/(s^2))t^2] $
$ v_x(t) = (12m/s)*t - 2(1.2m/(s^2))t $
Dove è andato a finire il $ 18m $ e perchè si trova quel $ 2 $ e manca il $ t^2 $
E poi arriva alla fine con questa:
$ v_x(t) = (12m/s)*t - (2.4m/(s^2))t $
Help!!!!
Risposte
Bad, se non hai studiato il moto uniformemente accelerato, e se non conosci le derivate, sarà difficile che potrai seguire e capire l'esercizio. Ma scusa, hai fatto o no l'esame di Analisi I ? E se anche non lo hai fatto, alle superiori avrai ben studiato un po' di derivate, no?
"navigatore":
Bad, se non hai studiato il moto uniformemente accelerato, e se non conosci le derivate, sarà difficile che potrai seguire e capire l'esercizio. Ma scusa, hai fatto o no l'esame di Analisi I ? E se anche non lo hai fatto, alle superiori avrai ben studiato un po' di derivate, no?
No, ancora non ho fatto l'esame di analisi, in più sto studiando la trigonometria vettori e numeri complessi, poi farò analisi!
Negli esercizi, il mio testo non mi sembra che faccia utilizzare le derivate...., ma nella teoria, ogni tanto trovi qualche paragrafo con qualche concetto del genere!
Il prof, mi ha detto che non sarà indispensabile analisi per sostenere l'esame di fisica, ma mi ha detto che per comprendere i concetti di teoria, farebbe comodo! Non ricordo le derivate, è passato un bel po di tempo da quando mi sono diplomato!
Mi interessa almeno sapere cosa è:
$ d/(dt)*t^n=nt^(n-1) $
"Bad90":
Mi interessa almeno sapere cosa è:
$ d/(dt)*t^n=nt^(n-1) $
E' una delle regole di derivazione di una funzione (nel tuo caso $t$), in particolare tale regola ti dice a cosa è uguale la derivata della funzione potenza.
Esempio. Se hai la funzione $f(x) = x^6$, la derivata, secondo la regola, sarà:
$d/dt f(x) = d/dt x^6 = 6*x^(6-1) = 6x^5$
essendo $n = 6$. Spero sia chiaro.
Ciao.
"JoJo_90":
Esempio. Se hai la funzione $f(x) = x^6$, la derivata, secondo la regola, sarà:
$d/dt f(x) = d/dt x^6 = 6*x^(6-1) = 6x^5$
essendo $n = 6$. Spero sia chiaro.
Ciao.
E' perchè $n = 6$
Aiutami a capire questa formula
Insomma, quale regola hai utilizzato per portare quel sei come prodotto, $ 6*x^(6-1)$
Ti ringrazio!
"Bad90":
.......
Negli esercizi, il mio testo non mi sembra che faccia utilizzare le derivate...., ma nella teoria, ogni tanto trovi qualche paragrafo con qualche concetto del genere!
Il prof, mi ha detto che non sarà indispensabile analisi per sostenere l'esame di fisica, ma mi ha detto che per comprendere i concetti di teoria, farebbe comodo!
Eh ,farebbe comodo sí, ma direi che conoscere certi concetti come le derivate è praticamente essenziale!
Mi interessa almeno sapere cosa è:
$ d/(dt)*t^n=nt^(n-1) $
La derivata della potenza di $x(t)$ con esponente $n$, rispetto alla variabile $t$, si ottiene diminuendo di $1$ l'esponente, e moltiplicando $x^(n-1)$ per $n$ stesso. Per cui, ad esempio : $ d/(dt)x^5=5x^4 $ . E ancora :$ d/(dt)x^(-3)= -3x^(-4) $ . Il simbolo $d/(dt)$ è il simbolo di derivata, non è un qualcosa che si moltiplica per $x$ ( ci hai messo il punto di moltiplicazione: non ci va)
La regola risulta valida anche se l'esponente è un numero reale qualsiasi. Meglio non usare le stesse lettere per la variabile rispetto a cui si deriva e per la funzione da derivare.
Però Bad, dette così le cose, assumono un aspetto troppo meccanico, impari una regoletta ma ti manca il concetto di derivata di una funzione...dillo al tuo prof, non va bene in questo modo! Che vi dia lui almeno qualche spiegazione più dettagliata sull'argomento!
Ops, scusa JoJo, hai risposto mentre scrivevo!
"navigatore":
Però Bad, dette così le cose, assumono un aspetto troppo meccanico, impari una regoletta ma ti manca il concetto di derivata di una funzione...dillo al tuo prof, non va bene in questo modo! Che vi dia lui almeno qualche spiegazione più dettagliata sull'argomento!
Hai ragione, si ha un'aspetto troppo meccanico, imparare in questo modo, non penso sia la miglior cosa
. Il prof. è una persona disponibilissima, solo che adesso le lezioni sono ferme e per mea culpa, mi ritrovo con un pò di lacune!
Per il momento, mi conviene accettare il concetto in questo modo, poi appena tratterò gli argomenti li capirò in modo corretto, adesso sono costretto a fare così!
Comunque, non mi sembra difficile da ricordare, sei stato chiarissimo anche nel farmi capire quella formula!
Te ne ringrazio!
Vedo che navigatore mi ha preceduto e la sua spiegazione mi sembra veramente chiara. Se comunque ti volesse interessare anche quello che avevo scritto io, lo puoi leggere dal seguente spoiler.
Eh si, ma sa che ci siamo accavallati, anche più di una volta. Scusami anche tu
"navigatore":
Ops, scusa JoJo, hai risposto mentre scrivevo!
Eh si, ma sa che ci siamo accavallati, anche più di una volta. Scusami anche tu
"JoJo_90":
Ovviamente questa è una regola operativa, ma dietro ci stà un mondo che avrai modo di scoprire studiando Analisi
Si arriverò con calma a scoprire anche quella realtà, per adesso mi accontento di accettare questi passaggi e andare avanti con il programma di Fisica!
Ti ringrazio
Provo a replicare i passaggi che sono riuscito a fare, grazie ai vostri consigli...
Ho giusto qualche piccolo dubbio che adesso vi illustrerò:
Dunque, inizio da questa:
$ v_x(t) =d/(dt) [18m + (12m/s)*t - (1.2m/(s^2))t^2] $
Svolgo i calcoli singolarmente per ogni derivata:
$ d/(dt) 18m= 1*(18m)^0 = 1 $
$ d/(dt) (12m/s)*t= 1*(12m/s)*t^0 = (12m/s) $
$ d/dt(1.2m/(s^2))t^2= 2*(1.2m/(s^2))t^(2-1)=2*(1.2m/(s^2))t $
Ma perchè si considera solo $ t $ nel calcolo della derivata e non si considera $ (12m/s) $ Io pensavo si
potesse considerare in questo modo $ 1*((12m/s)*t)^0=1 $
Quindi si arriva al passaggio finale:
$ v_x(t) =12m/s - 2(1.2m/(s^2))t $
$ v_x(t) =12m/s - (2.4m/(s^2))t $
Scusate, ma perchè non si considera il valore di $ 1 $ della seguente $ d/(dt) 18m= 1*(18m)^0 = 1 $
per quale motivo non scrivere così
$ v_x(t) =1+12m/s - 2(1.2m/(s^2))t $
Grazie mille!
Ho giusto qualche piccolo dubbio che adesso vi illustrerò:
Dunque, inizio da questa:
$ v_x(t) =d/(dt) [18m + (12m/s)*t - (1.2m/(s^2))t^2] $
Svolgo i calcoli singolarmente per ogni derivata:
$ d/(dt) 18m= 1*(18m)^0 = 1 $
$ d/(dt) (12m/s)*t= 1*(12m/s)*t^0 = (12m/s) $
$ d/dt(1.2m/(s^2))t^2= 2*(1.2m/(s^2))t^(2-1)=2*(1.2m/(s^2))t $
Ma perchè si considera solo $ t $ nel calcolo della derivata e non si considera $ (12m/s) $
Io pensavo si potesse considerare in questo modo $ 1*((12m/s)*t)^0=1 $
Quindi si arriva al passaggio finale:
$ v_x(t) =12m/s - 2(1.2m/(s^2))t $
$ v_x(t) =12m/s - (2.4m/(s^2))t $
Scusate, ma perchè non si considera il valore di $ 1 $ della seguente $ d/(dt) 18m= 1*(18m)^0 = 1 $
per quale motivo non scrivere così
$ v_x(t) =1+12m/s - 2(1.2m/(s^2))t $
Grazie mille!
E' quasi tutto corretto, ma dalle due domande che hai fatto nel tuo post, si capisce che devi vedere per bene le derivate e le regole di derivazione.
La funzione velocità che riporti è:
$v(t) = 18["m"] + 12["m"/"s"]*t - 1,2["m"/"s"^2]*t^2$
Ritengo che si possono omettere le unità di misura, perchè possono far confondere (però aspetta navigatore, e vedi che quel che dice lui).
Se ometti le unità di misura ottieni quindi:
$v(t) = 18+ 12*t - 1,2*t^2$
Per eseguire la derivata di questa funzione ti serve conoscere come si eseguono le seguenti derivate:
La funzione velocità che riporti è:
$v(t) = 18["m"] + 12["m"/"s"]*t - 1,2["m"/"s"^2]*t^2$
Ritengo che si possono omettere le unità di misura, perchè possono far confondere (però aspetta navigatore, e vedi che quel che dice lui).
Se ometti le unità di misura ottieni quindi:
$v(t) = 18+ 12*t - 1,2*t^2$
Per eseguire la derivata di questa funzione ti serve conoscere come si eseguono le seguenti derivate:
[*:2dtu7klz]Derivata di una somma di funzione: $f(x) + g(x)$[/*:m:2dtu7klz]
[*:2dtu7klz]Derivata di una funzione costante: $f(x)=k$[/*:m:2dtu7klz]
[*:2dtu7klz]Derivata di una costante per una funzione: $k*f(x)$[/*:m:2dtu7klz]
[*:2dtu7klz]Derivata di una funzione potenza: $f(x)=x^n$[/*:m:2dtu7klz][/list:u:2dtu7klz]
La funzione velocità che riporti infatti, è una somma di tre funzioni , in particolare è somma delle seguenti:
[*:2dtu7klz]Funzione costante $f(x)= 18$[/*:m:2dtu7klz]
[*:2dtu7klz]Costante per una funzione $k*f(x)=12*t$[/*:m:2dtu7klz]
[*:2dtu7klz]Costante per una funzione potenza $f(x)=12*t^2$[/*:m:2dtu7klz][/list:u:2dtu7klz]
La derivata della somma di queste tre funzioni si fà come hai fatto, cioè si fanno le singole derivate e si sommano (non sò se questo lo hai fatto "inconsapevolmente" o perchè sapevi come si esegue la derivata della somma di funzioni).
Le derivate che hai calcolato sono tutte corrette, tranne la prima: $d/dt18$. Si tratta di una funzione costante ($18$), quindi la sua derivata è nulla (perchè la derivata di una costante è nulla). Quindi:
$d/dt18 = 0$
Questo risponde alla tua ultima domanda del perchè non si considera quell'$1$.
Dalle regole di derivazione, dovresti anche poter rispondere alla tua prima domanda.
Se qualcosa non è chiaro comunque, non esitare a chiedere.
A presto
.
Ok JoJo, sei stato chiarissimo e te ne ringrazio!
I calcoli li ho svolti consciamente, grazie ai vostri consigli
devo pero' studiare le derivate, per il momento acetto di imparare meccanicamente questi passaggi, non ho alternative, altrimenti sono fuori con i tempi!
Ti ringrazio!
I calcoli li ho svolti consciamente, grazie ai vostri consigli
devo pero' studiare le derivate, per il momento acetto di imparare meccanicamente questi passaggi, non ho alternative, altrimenti sono fuori con i tempi! Ti ringrazio!
"Bad90":
devo pero' studiare le derivate, per il momento acetto di imparare meccanicamente questi passaggi, non ho alternative, altrimenti sono fuori con i tempi!
Si, anche io credo che per il momento fai meglio a imparare solo le regole di derivazione. Quando infatti scrivo "devi vedere le derivate" mi riferisco alla pura e semplice regoletta meccanica, che poi, se proprio la vogliamo dire, è la cosa che dovrà rimanere ben impressa nella tua mente*.
_________
*Pronto per la fucilazione da parte dei matematici che leggeranno la frase in corsivo.
"Bad90":
devo pero' studiare le derivate, per il momento acetto di imparare meccanicamente questi passaggi, non ho alternative, altrimenti sono fuori con i tempi!
Se posso permettermi... da quello che hai scritto in precedenza, mi pare tu non abbia chiarissimo cosa sia una derivata, ecco quello devi averlo ben chiaro per capire la fisica, anche quella di base.
Vorrei chiarire un dubbio.....
Se la velocità è una grandezza derivata, giusto E' giusto dire che è derivata da cosa Bisogna dire che è derivata dallo spazio in funzione del tempo
Invece l'accellerazione è una grandezza derivata dalla velocità
Se la velocità è una grandezza derivata, giusto
E' giusto dire che è derivata da cosa Bisogna dire che è derivata dallo spazio in funzione del tempo Invece l'accellerazione è una grandezza derivata dalla velocità
Ritorno un attimo su quanto ho detto in un primo messaggio di questo thread....
Nella seguente relazione
$ x(t) = 18m + (12m/s)*t - (1.2m/(s^2))t^2 $
Ho una costante che è una posizione iniziale:
$ 18m $
Ho una velocità per un tempo:
$ (12m/s)*t $
Ho una accellerazione per un tempo al quadrato:
$ (1.2m/(s^2))t^2 $
Questo rappresenta lo spostamento in funzione del tempo, vero
Adesso vorrei capire perchè lo spostamento $ x $ è dato dalla relazione di questi tre elementi
Accetto con facilità il fatto che ho uno spostamento di $ 18m $ , ok, ma perchè si addiziona la velocità
Perchè si sottrae una accellerazione
Grazie mille!
Nella seguente relazione
$ x(t) = 18m + (12m/s)*t - (1.2m/(s^2))t^2 $
Ho una costante che è una posizione iniziale:
$ 18m $
Ho una velocità per un tempo:
$ (12m/s)*t $
Ho una accellerazione per un tempo al quadrato:
$ (1.2m/(s^2))t^2 $
Questo rappresenta lo spostamento in funzione del tempo, vero
Adesso vorrei capire perchè lo spostamento $ x $ è dato dalla relazione di questi tre elementi
Accetto con facilità il fatto che ho uno spostamento di $ 18m $ , ok, ma perchè si addiziona la velocità
Perchè si sottrae una accellerazione
Grazie mille!
"Bad90":
Vorrei chiarire un dubbio.....
Se la velocità è una grandezza derivata, giusto
Invece l'accellerazione è una grandezza derivata dalla velocità
Questi dubbi confermano quanto scrivevo: non hai chiaro cosa si intende per derivata.
Innanzi tutto va distinta la parola derivata nel significato dato comunemente dalla lingua italiana dal significato matematico.
Possono avere delle relazioni o delle analogie, probabilmente facendo uno studio etimologico si troverebbero anche curiosità interessanti, ma non puoi servirti del significato comune per capire il significato matematico.
Per derivata di una funzione rispetto ad una certa variabile si intende il limite del rapporto incrementale di quella funzione rispetto alla variabile. Non entro di più nel merito e evito precisazioni ulteriori perché le trovi in un qualsiasi testo di elementi di analisi.
Riguardo l'ultimo messaggio che hai scritto non capisco i dubbi. Hai una legge che stabilisce lo spostamento di un corpo in funzione del tempo, in particolare si può vedere che quel moto corrisponde al moto di un corpo che parte da una certa posizione spaziale rispetto ad un sistema di riferimento ($18 m$) con una velocità iniziale data ($12 m/s$) ed una accelerazione data ($-1.2 m/s^2$) (potremmo dire decelerazione in quanto opposta alla velocità iniziale).
Tutto qui.
NB: Accelerazione si scrive con una "l" (confesso che fino alle scuole medie superiori lo scrivevo anch'io con due l
).
"Faussone":
Riguardo l'ultimo messaggio che hai scritto non capisco i dubbi. Hai una legge che stabilisce lo spostamento di un corpo in funzione del tempo, in particolare si può vedere che quel moto corrisponde al moto di un corpo che parte da una certa posizione spaziale rispetto ad un sistema di riferimento ($18 m$) con una velocità iniziale data ($12 m/s$) ed una accelerazione data ($-1.2 m/s^2$) (potremmo dire decelerazione in quanto opposta alla velocità iniziale).
Tutto qui.
NB: Accelerazione si scrive con una "l" (confesso che fino alle scuole medie superiori lo scrivevo anch'io con due l
Ok, la risposta e' proprio quello che mi serviva sapere!
Ok, per il discorso della derivata .........., ti ringrazio!
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