Velocità funzione dello spazio percorso...
Mi presento: sono un Progettista Meccanico che ha bisogno di un aiuto.
Ho una velocità che è funzione dello spazio tramite la seguente legge V(t)=a*(1+k*sinS(t)) come posso trovare la legge dello spazio percorso che soddisfa tale equazione differenziale?
Note: a e k sono costanti.
Vi ringrazio anticipatamente.
Ho una velocità che è funzione dello spazio tramite la seguente legge V(t)=a*(1+k*sinS(t)) come posso trovare la legge dello spazio percorso che soddisfa tale equazione differenziale?
Note: a e k sono costanti.
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
In generale, vale che $(ds)/(dt)=v$. Quindi devi risolvere l'equazione differenziale $(ds)/(dt)=a*(1+k*sin(s(t)))$.
Lascio ai posteri i conti, poichè sono di fretta
Lascio ai posteri i conti, poichè sono di fretta
Ok, fortunatamente fino a qui c'ero arrivato. Non mi ricordo però come si risolve questa equazione differenziale?
Mi date una mano perfavore? Scusate se vi rompo le scatole ma ho una certa fretta!
Io la risolverei per variabili separabili. Ho fatto fare il conto a Maxima (programma di calcolo simbolico gratuito), ma l'integrale generale non è affatto semplice e dipende dal segno di $k^2-1$; sei sicuro della correttezza della tua equazione differenziale?
Si sono sicuro, so che la legge della velocità è quella che ti ho scritto quindi vorrei ottenere la legge della posizione, sempre se sia possibile.
Ciao.
Ciao.
Innanzitutto dovresti chiarirmi la natura di $k$: la soluzione, come ti ho detto, dipende dal segno di $k^2-1$. 
Ok, k è una costante pari a 0.2.
Quindi k^2-1 è negativa.
Ti serve altro?
Quindi k^2-1 è negativa.
Ti serve altro?
$sin(x)=((2*sqrt(6)*tan((sqrt(6)*a*t+sqrt(6)*a*c)/5)-1)*cos(x)+2*sqrt(6)*tan((sqrt(6)*a*t+sqrt(6)*a*c)/5)-1)/5$
Ho trovato questo risultato con Maxima ($x$ è la tua funzione $s$, perdona la sostituzione). Di meglio non so trovare, mi dispiace. Ti consiglio, vista la difficoltà dell'espressione, di tabulare la funzione $s(t)$.
NB: $c$ è una costante di integrazione
Ho trovato questo risultato con Maxima ($x$ è la tua funzione $s$, perdona la sostituzione). Di meglio non so trovare, mi dispiace. Ti consiglio, vista la difficoltà dell'espressione, di tabulare la funzione $s(t)$.
NB: $c$ è una costante di integrazione
Grazie, sei stato gentilissimo.
Analizzando meglio la tua soluzione ho ovviamente avuto difficoltà ad applicarla poichè troppo complessa.
Però ragionandoci sopra, se ho una velocità angolare in funzione dell'angolo data da v=a(1+k*sin(s)), dove v è la vel. angolare ed s l'angolo percorso, sapendo che v=s/t quindi t=s/v, percui t^-1=v/s.
Quindi pensavo (correggetemi se sbaglio) che la derivata di v rispetto ad s mi dovrebbe dare l'andamento di 1/t in funzione dello angolo s, di conseguenza posso ottenere facilmente l'angolo in funzione di t.
Mettendo in pratica questo ragionamento ho che:
dv/ds=a*k*cos(s)=1/t quindi s=arcos(1/(a*k*t).
Ho detto delle baggianate o il mio ragionamento è corretto?
Però ragionandoci sopra, se ho una velocità angolare in funzione dell'angolo data da v=a(1+k*sin(s)), dove v è la vel. angolare ed s l'angolo percorso, sapendo che v=s/t quindi t=s/v, percui t^-1=v/s.
Quindi pensavo (correggetemi se sbaglio) che la derivata di v rispetto ad s mi dovrebbe dare l'andamento di 1/t in funzione dello angolo s, di conseguenza posso ottenere facilmente l'angolo in funzione di t.
Mettendo in pratica questo ragionamento ho che:
dv/ds=a*k*cos(s)=1/t quindi s=arcos(1/(a*k*t).
Ho detto delle baggianate o il mio ragionamento è corretto?
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