Velocità di una spira in campo magnetico:

[Davide521]

Salve a tutti! Avrei dei dubbi riguardo al seguente esercizio:
Una spira conduttrice quadrata, di lato b=20 cm, massa m= 4 g, resistenza R= 25 Ohm, si muove senza attrito sul piano xy con velocità costante v0 0.04 m/s. Per x>0 esiste un campo magnetico uniforme e costante di valore B= 0.5 T e la spira entra in questa regione all'istante t= 0; il verso del campo B è entrante. Calcolare: a) la velocità v della spira in funzione della distanza x e in particolare b) il valore v1 assunto quando è completamente entrata.
Ora: il ragionamento che ho fatto io è che la spira, non appena entra nel campo magnetico, viene sottoposta ad una forza di attrito elettromagnetico che la rallenta fino a quando non si ferma. Venendo data la massa e la velocità iniziale, avevo pensato di risolverlo usando la conservazione dell'energia, cioè:

$ 1/2(mv0^2)=1/2(mv^2)+((B^2b^2)v0*x)/R $

ma il libro dà una soluzione differente: sottrae alla velocità iniziale la velocità ottenuta dalla forza elettromagnetica, attraverso i seguenti passaaggi:

$ F= -((B^2b^2)v)/R, m(dv)/dx=-(B^2b^2)/R, v(x)=v0-((B^2b^2)x)/(mR)=(4*10^(-2)-0.1x)m/s $

che io ho capito, sia chiaro: cioè dalla forza di attrito si ricava la velocità ed ok, mi sta bene come ragionamento, ma non riesco a capire perché con la conservazione si ottenga un risultato diverso.
Perché non può essere applicata? Non è una situazione simile a un blocchetto che, dal basso, sale lungo un piano inclinato e viene frenato dalla forza peso ed eventualmente da quella di attrito? Perché in quei casi applicare la conservazione va bene, ma in questo no? $ ((B^2b^2)v0*x)/R $ è la forza moltiplicata per la distanza variabile, dunque non è sempre una formula che esprime energia potenziale?
Mi potreste aiutare? Grazie mille a tutti!!

[ondine1]

In questo caso la forza dipende dalla velocità che a sua volta dipende dalla posizione, di conseguenza non puoi dire che il lavoro fatto dalla forza frenante è uguale semplicemente a $F Deltas cos(alpha)$ ma dovresti calcolarti un integrale di linea. Se tu volessi scrivere la legge di conservazione dell'energia devi partire calcolandoti il lavoro della forza frenante.
$L=int_(X_o)^(X_f) vecF dvecx= -int_(X_o)^(X_f) (B^2l^2)/Rvdx=$
Ma per conoscere $V(x)$ si deve risolvere l'equazione del moto. Si potrebbei in alternativa, fare un cambio di variabile ed integrare in $dt$ conoscendo $v(t)$ ma in ogni caso il procedimento è molto più laborioso che risolvere delle semplici ode.
Comunque,soluzione del problema a parte, ti faccio vedere come sarebbe dovuta essere scritta la conservazione dell'energia.
$mx''=-(B^2l^2)/Rx'$
e ti ricavi , con la condizione $V(0)=V_o$:
$V(t)=V_o e^(-(B^2l^2)/(Rm)t)$
e infine puoi dire che la legge oraria con il vincolo $ x(0)=0$ è:
$X(t)=(mRV_0)/(B^2l^2)(1-e^(-(B^2l^2)/(Rm)t))$
Confrontando le due equazioni posso scrivere che
$X =(mRV_o)/(B^2l^2) -(mR)/(l^2B^2) V$
$V(x)= V_o-(l^2B^2x)/(mR)$
quindi l'espressione giusta del lavoro è:
$L=-(B^2l^2)/Rint_(X_o)^(X_f) [V_o-(l^2B^2x)/(mR)] dx= -(B^2l^2V_o)/R(x_f-x_i) + (B^4l^4)/(2R^2m)(x_f^2-x_i^2)$
quindi adesso finalmente si può scivere che
$DeltaK=L$
se poi $x_i=0$ e $V_i=V_o$
l'equazione che avresti dovuto scrivere diventa:

$1/2mv_f^2=1/2mv_o^2-(B^2l^2V_o)/Rx_f + (B^4l^4)/(2R^2m)x_f^2$

per vedere che è quella giusta proviamo a ricavarc $V(x)$ ( anche se la sappiamo già)
$V_f^2=V_o^2 -2(B^2l^2V_o)/(mR)x_f + (B^4l^4)/(R^2m^2)x_f^2=(V_o-(l^2B^2x_f)/(mR))^2$
e quindi $V_f= V_o-(l^2B^2x_f)/(mR)$

[Davide521]

Innanzitutto, ti ringrazio tantissimo della risposta più che esaustiva e precisa!! Ora ho finalmente capito! Nel caso del blocchetto la forza peso, che è la forza che oppone resistenza, è indipendente dalla velocità con cui si muove l'oggetto. In questo caso invece, più la spira va veloce, più la forza elettromagnetica s'intensifica. Quindi mi doveva apparire ovvio il fatto che dovessi impostare l'equazione in maniera differente! Al posto della velocità funzione nella formula dell'energia della forza elettromagnetica, ho inserito la sola velocità iniziale, ma è chiaro che poi non avrebbe senso. Tra l'altro, una volta trovata la legge oraria dello spostamento, come mi hai fatto notare tu, sarebbe anche inutile applicare la conservazione, perché si trova già l'equazione della velocità. Grazie infinite di cuore ancora!!