Velocità di un fluido in un tubo, dubbio teorico
Salve!
Ho il seguente dubbio: dal paradosso di Venturi so che se la sezione di un tubo diminuisce, allora la sua velocità aumenta e la pressione diminuisce.
1) questo accade perché, anche se non mi viene detto, ho un fluido subsonico vero? Altrimenti avrei bisogno di un ugello divergente per aumentare la velocità, giusto?
2) se sono in regime stazionario, significa che la velocità in un punto non varia nel tempo. Ma nello spazio (del tubo) posso avere aumenti di velocità, vero? Basti vedere il caso di Venturi,.. possiamo anche essere in caso stazionario, no?
Grazie!
Ho il seguente dubbio: dal paradosso di Venturi so che se la sezione di un tubo diminuisce, allora la sua velocità aumenta e la pressione diminuisce.
1) questo accade perché, anche se non mi viene detto, ho un fluido subsonico vero? Altrimenti avrei bisogno di un ugello divergente per aumentare la velocità, giusto?
2) se sono in regime stazionario, significa che la velocità in un punto non varia nel tempo. Ma nello spazio (del tubo) posso avere aumenti di velocità, vero? Basti vedere il caso di Venturi,.. possiamo anche essere in caso stazionario, no?
Grazie!
Risposte
Spero di riuscire a farti capire da dove arriva M nella formula. Si parte dalla velocità del suono in un fluido comprimibile, che è una “piccola perturbazione “ in quanto la variazione di pressione dp è piccola rispetto a p ...Ma ora non ho tempo, oggi forse.
Comunque Shackle stiamo ragionando su cose diverse ahahah
Io stavo cercando di capire perché se restringi un condotto la densità di un gas varia meno rispetto alla pressione (nel senso che applichi la conservazione della portata come se fosse un liquido), non ho indagato sull'ugello di Laval. La riposta, secondo me, è da cercarsi in come la velocità del suono influisce sul comportamento del gas. (spero di non aver detto una cappellata)
@mgrau non ho capito cosa intendi quando dici che il flusso diventa "corrugato".
Comunque le mie conoscenze, per altro estremamente qualitative, finiscono qui e, avendo da studiare altre cose, non ho il tempo di approfondire come vorrei fare. Ergo penso che mi ritirerò dalla conversazione
Io stavo cercando di capire perché se restringi un condotto la densità di un gas varia meno rispetto alla pressione (nel senso che applichi la conservazione della portata come se fosse un liquido), non ho indagato sull'ugello di Laval. La riposta, secondo me, è da cercarsi in come la velocità del suono influisce sul comportamento del gas. (spero di non aver detto una cappellata)
@mgrau non ho capito cosa intendi quando dici che il flusso diventa "corrugato".
Comunque le mie conoscenze, per altro estremamente qualitative, finiscono qui e, avendo da studiare altre cose, non ho il tempo di approfondire come vorrei fare. Ergo penso che mi ritirerò dalla conversazione
1. complimenti per il disegno
2. ho fatto l'esperimento sul mio lavandino e confermo l'esito.
Non ho idea del motivo, ma sicuramente ha a che fare con la presenza del dito come dici tu. Si vede che nel primo caso le perturbazioni "muoiono" per colpa degli attriti e quindi non arrivano a disturbare la sorgente.
Per ciò deduco che se il flusso fosse supersonico l'effetto qui descritto non ci sarebbe. Do you agree ?
2. ho fatto l'esperimento sul mio lavandino e confermo l'esito.
Non ho idea del motivo, ma sicuramente ha a che fare con la presenza del dito come dici tu. Si vede che nel primo caso le perturbazioni "muoiono" per colpa degli attriti e quindi non arrivano a disturbare la sorgente.
Per ciò deduco che se il flusso fosse supersonico l'effetto qui descritto non ci sarebbe. Do you agree ?
Secondo me, nel primo caso, la velocità del flusso è maggiore di quella delle onde superficiali (in un certo senso, è "supersonico"), nel secondo no, così le onde superficiali hanno modo di risalire
"mgrau":
Secondo me, nel primo caso, la velocità del flusso è maggiore di quella delle onde superficiali (in un certo senso, è "supersonico"), nel secondo no, così le onde superficiali hanno modo di risalire
No, impossibile... la velocità del suono in acqua è più di 1000 m/s
Comunque non so se la velocità del suono c'entra più in questo esempio. Intanto è un fluido incomprimibile (quindi $c->\infty$ infatti è molto alta) e poi, secondo me, la presenza delle onde superficiali si potrebbe spiegare come un fenomeno di fluidodinamica "classico" di urto contro una superficie.
(secondo me stiamo andando troppo OT comunque...)
"dRic":
[
So che è molto buttata lì come spiegazione... se guardi nei miei vecchi messaggi questa è proprio una domanda che feci poco dopo che mi iscrissi sul forum e non ottenni risposte
Ma come?
Ne avevamo parlato qui infatti e mi pare che qualcosa ti era stata detta...
Infatti secondo me adesso hai le idee più chiare leggendo le risposte che hai dato agli altri, cosa non ti ti torna ancora? "Intuitivamente" le cose son quelle più o meno.
Non ho capito poi su questo tema quali sono le domande che attendono risposta in questa discussione (difficile seguire le osservazioni fatte da tutti).
Perdonami @Faussone, non volevo mettere in dubbio il tuo preziosissimo aiuto. Adesso ho le idee molto più chiare e faccio tesoro delle tue risposte!
Faccio un piccolo elenco di quello che ho da dire perché se no diventa una confusione madornale:
1. Prima del post da te allegato feci una altra domanda di cui non ebbi risposta circa il "senso fisico" delle formule che ha riportato anche Shackle (stavo proprio studiando l'ugello di Laval). Finalmente sono riuscito a dirmi una risposta (grazie anche al tuo aiuto), ma volevo che gli altri non prendessero necessariamente per vero quello che ho detto perché, magari, potrei aver sbagliato (non ho la competenza necessaria per esprimermi con sicurezza sull'argomento)
2. anche io ho perso il filo del discorso
3. Io mi ero concentrato su una particolare osservazione di @mgrau in cui chiedeva (ri-quoto):
(Io però qui ho inteso si parlasse di un flusso subsonico) Stavo cercando di capire/spiegare che, secondo me, la variazione di densità non è così grande da poter giustificare una conservazione della portata senza che cambi anche la pressione. Poi, per il resto, mi sono perso anche io nel discorso...
Comunque, @Faussone, grazie mille per l'interesse verso la mia comprensione dell'argomento
Faccio un piccolo elenco di quello che ho da dire perché se no diventa una confusione madornale:
1. Prima del post da te allegato feci una altra domanda di cui non ebbi risposta circa il "senso fisico" delle formule che ha riportato anche Shackle (stavo proprio studiando l'ugello di Laval). Finalmente sono riuscito a dirmi una risposta (grazie anche al tuo aiuto), ma volevo che gli altri non prendessero necessariamente per vero quello che ho detto perché, magari, potrei aver sbagliato (non ho la competenza necessaria per esprimermi con sicurezza sull'argomento)
2. anche io ho perso il filo del discorso
3. Io mi ero concentrato su una particolare osservazione di @mgrau in cui chiedeva (ri-quoto):
"mgrau":
Però poi uno pensa che, trattandosi di gas, la costanza della portata si può sì ottenere giocando sulla velocità del flusso, ma anche sulla pressione, o la densità del gas. Al limite, si potrebbe immaginare di avere la portata costante con velocità pure costante, aumentando la densità in modo inverso alla sezione del condotto.
(Io però qui ho inteso si parlasse di un flusso subsonico) Stavo cercando di capire/spiegare che, secondo me, la variazione di densità non è così grande da poter giustificare una conservazione della portata senza che cambi anche la pressione. Poi, per il resto, mi sono perso anche io nel discorso...
Comunque, @Faussone, grazie mille per l'interesse verso la mia comprensione dell'argomento
Sì bel disegno davvero. Comunque secondo me dipende dal numero di Froude, anche se applicato ad un rubinetto siamo abbastanza fuori il suo campo di validità quantitativo credo, ma qualitativamente dovrebbe tornare. Per quel che so io una corrente si differenzia in lenta, veloce o critica a seconda che il numero di Froude $v/(g L)^(1/2)$ sia minore, maggiore o pari ad $1$ ; inoltre può essere visto anche come rapporto tra la velocità della corrente e la velocità di propagazione di una perturbazione infinitesima, che però è proprio pari a quel valore sotto radice solo in certe condizioni. Tuttavia penso che qualitativamente possa ancora essere usato come discriminante tra i regimi di corrente poiché, come avete detto, avvicinando il dito impedisco all'acqua di raggiungere un certa velocità e quindi il numero di Froude cala, si entra in regime di corrente lenta ed il fronte d'onda delle perturbazioni può "risalire a monte"; invece allontanando il dito la velocità è tale da superare quella della propagazione delle perturbazioni e scorre via "verso valle".
"dRic":
No, impossibile... la velocità del suono in acqua è più di 1000 m/s
Certo. Infatti ho messo "supersonico" fra virgolette. Parlavo della velocità delle onde superficiali, non quelle sonore.
Incidentalmente, nel fenomeno in questione, si vede che le onde sul tubo di flusso sono ferme, cioè la loro velocità è ESATTAMENTE quella dell'acqua che scende.
Comunque, sono d'accordo che siamo del tutto OT
Visto che ho iniziato col libro di Kirillin , continuo con questo, non prendo in considerazione altri libri.
1) Premessa - consideriamo un gas che subisca una trasformazione adiabatica reversibile , quindi isoentropica, $ds=0$ , di equazione :
$pv^k = "cost"$
si puo' dimostrare che l'esponente dell'isoentropica si può scrivere : $ k = -v/p((delp)/(delv))_s $ (eq 7.44)
il numero (7.44) è quello indicato nelle pagine allegate sotto spoiler. L'esponente ci servirà per calcolare la velocità del suono nel gas. Per un gas perfetto, sappiamo che : $k = c_p/c_v = 1 + R/c_v$
2) velocità del suono in un fluido comprimibile - Supponiamo che una massa di fluido comprimibile, a pressione $p$ e densità $rho$ sia contenuta in un cilindro dotato di pistone mobile , che a un certo istante sia messo in moto con velocità $dw$ (uso i simboli del libro) . Il gas a contatto col pistone si comprime , e la pressione aumenta a $p+dp$ , dove $dp$ è piccola rispetto a $p$ . Nel gas si crea un'onda di compressione longitudinale di piccola ampiezza, che si propaga. Supponiamo di separare la massa imperturbata ,davanti al fronte d'onda AA ( v. figura nei fogli sotto allegati) , da quella perturbata che sta a monte, dove la pressione è diventata $p+dp$ e la densità $rho + d\rho$ . Il gas a monte si sposta alla velocità $dw$ , ma il fronte d'onda, cioè la perturbazione, si sposta a una velocità $a$ maggiore : il gas "insegue" la perturbazione, si può dire.
Analizzando quello che succede, (rimando direttamente ai fogli allegati) , e applicando il teorema dell'impulso , si arriva a stabilire che l' incremento di pressione è dato da :
$dp = rhoadw$ ( eq. 8.19)
questa relazione va messa a sistema con la relazione che esprime la conservazione della massa :
$rhoa = (rho + d\rho)(a-dw) $ ( eq 8.18)
da cui si arriva a stabilire che : $ a = sqrt( (dp)/(d\rho))$ (eq 8.21 )
Sorvolando sull'errore commesso da Newton , circa il modo di calcolare la quantità sotto radice ( N. suppose che la trasformazione fosse isoterma ) , si arriva alla formula corretta di Laplace, il quale giustamente disse : No, la trasformazione del gas in questo processo è adiabatica, non isoterma . Leggete direttamente nei fogli .
In definitiva , la relazione giusta è :
$a = sqrt(kpv)$ (eq 8.24)
dove $k$ è l'esponente dell'isoentropica sopra detto ( ecco perché mi ci sono soffermato) . Questa è la formula cercata per la velocità del suono in un gas qualsiasi, perfetto o reale che sia.
Se il gas è perfetto, si arriva a dire che :
$a = sqrt (kRT) $
Ecco le pagine scannerizzate :
Ci sarebbe adesso da parlare di quello che succede in un ugello di efflusso solamente convergente: succedono cose interessanti, per esempio che, diminuendo la pressione $p_2$ del mezzo in cui il gas si scarica, la portata non aumenta indefinitamente , ma raggiunge un valore massimo limite, che mantiene anche se la pressione $p_2$ diminuisce fino a zero . Questo è un risultato sperimentale, che si può trovare nei testi di gasdinamica. È riportato anche nella dispensa che ho allegato all'inizio.
3) Efflusso da un ugello convergente-divergente.
In effetti ho già riportato le pagine del libro scannerizzate, queste :
In esse, è chiaramente scritto che sostituendo le espressioni :
$(dw)/w = - v/w^2dp$ (eq 8.47 : è l'equazione delle energia per un flusso senza attrito, senza scambi di lavoro e
in cui $dh =0$ )
$(dv)/v = - (dp)/(kp) $ ( eq 8.48 , per trasformazione adiabatica reversibile )
nella equazione di continuità (8.46) :
$(d\Sigma)/\Sigma = (dv)/v - (dw)/w $
si ottiene :
$(d\Sigma)/\Sigma = (kpv -w^2)/(kpw^2) dp $ (eq 8.49)
e quindi , essendo : $a = sqrt(kpv) $ , , la si può scrivere :
$(d\Sigma)/\Sigma = (a^2 -w^2)/(kpw^2) dp $
da cui in definitiva l'equazione in cui compare il numero di Mach :
che dovrebbe soddisfare mgrau circa l'origine di M nell'equazione .
Ho visto che è intervenuto anche Faussone : bene ! Mi fa piacere citare un suo messaggio , molto semplice , che potrebbe costituire l'appiglio intuitivo cercato da mgrau; la densità diminuisce più di quanto dovrebbe , perchè la sezione si allarga dopo la sezione di gola , e perciò il fluido deve accelerare perché sia rispettata la costanza della portata. Questo mi piace !
Nelle pagine riportate ci sono gli andamenti delle caratteristiche fisiche lungo tutto l’ugello.
Faussone, si sente la tua mancanza!
1) Premessa - consideriamo un gas che subisca una trasformazione adiabatica reversibile , quindi isoentropica, $ds=0$ , di equazione :
$pv^k = "cost"$
si puo' dimostrare che l'esponente dell'isoentropica si può scrivere : $ k = -v/p((delp)/(delv))_s $ (eq 7.44)
il numero (7.44) è quello indicato nelle pagine allegate sotto spoiler. L'esponente ci servirà per calcolare la velocità del suono nel gas. Per un gas perfetto, sappiamo che : $k = c_p/c_v = 1 + R/c_v$
2) velocità del suono in un fluido comprimibile - Supponiamo che una massa di fluido comprimibile, a pressione $p$ e densità $rho$ sia contenuta in un cilindro dotato di pistone mobile , che a un certo istante sia messo in moto con velocità $dw$ (uso i simboli del libro) . Il gas a contatto col pistone si comprime , e la pressione aumenta a $p+dp$ , dove $dp$ è piccola rispetto a $p$ . Nel gas si crea un'onda di compressione longitudinale di piccola ampiezza, che si propaga. Supponiamo di separare la massa imperturbata ,davanti al fronte d'onda AA ( v. figura nei fogli sotto allegati) , da quella perturbata che sta a monte, dove la pressione è diventata $p+dp$ e la densità $rho + d\rho$ . Il gas a monte si sposta alla velocità $dw$ , ma il fronte d'onda, cioè la perturbazione, si sposta a una velocità $a$ maggiore : il gas "insegue" la perturbazione, si può dire.
Analizzando quello che succede, (rimando direttamente ai fogli allegati) , e applicando il teorema dell'impulso , si arriva a stabilire che l' incremento di pressione è dato da :
$dp = rhoadw$ ( eq. 8.19)
questa relazione va messa a sistema con la relazione che esprime la conservazione della massa :
$rhoa = (rho + d\rho)(a-dw) $ ( eq 8.18)
da cui si arriva a stabilire che : $ a = sqrt( (dp)/(d\rho))$ (eq 8.21 )
Sorvolando sull'errore commesso da Newton , circa il modo di calcolare la quantità sotto radice ( N. suppose che la trasformazione fosse isoterma ) , si arriva alla formula corretta di Laplace, il quale giustamente disse : No, la trasformazione del gas in questo processo è adiabatica, non isoterma . Leggete direttamente nei fogli .
In definitiva , la relazione giusta è :
$a = sqrt(kpv)$ (eq 8.24)
dove $k$ è l'esponente dell'isoentropica sopra detto ( ecco perché mi ci sono soffermato) . Questa è la formula cercata per la velocità del suono in un gas qualsiasi, perfetto o reale che sia.
Se il gas è perfetto, si arriva a dire che :
$a = sqrt (kRT) $
Ecco le pagine scannerizzate :
Ci sarebbe adesso da parlare di quello che succede in un ugello di efflusso solamente convergente: succedono cose interessanti, per esempio che, diminuendo la pressione $p_2$ del mezzo in cui il gas si scarica, la portata non aumenta indefinitamente , ma raggiunge un valore massimo limite, che mantiene anche se la pressione $p_2$ diminuisce fino a zero . Questo è un risultato sperimentale, che si può trovare nei testi di gasdinamica. È riportato anche nella dispensa che ho allegato all'inizio.
3) Efflusso da un ugello convergente-divergente.
In effetti ho già riportato le pagine del libro scannerizzate, queste :
In esse, è chiaramente scritto che sostituendo le espressioni :
$(dw)/w = - v/w^2dp$ (eq 8.47 : è l'equazione delle energia per un flusso senza attrito, senza scambi di lavoro e
in cui $dh =0$ )
$(dv)/v = - (dp)/(kp) $ ( eq 8.48 , per trasformazione adiabatica reversibile )
nella equazione di continuità (8.46) :
$(d\Sigma)/\Sigma = (dv)/v - (dw)/w $
si ottiene :
$(d\Sigma)/\Sigma = (kpv -w^2)/(kpw^2) dp $ (eq 8.49)
e quindi , essendo : $a = sqrt(kpv) $ , , la si può scrivere :
$(d\Sigma)/\Sigma = (a^2 -w^2)/(kpw^2) dp $
da cui in definitiva l'equazione in cui compare il numero di Mach :
$(d\Sigma)/\Sigma =1/(kp)(1/M^2 -1)dp$ , eq 8.50a
che dovrebbe soddisfare mgrau circa l'origine di M nell'equazione .
Ho visto che è intervenuto anche Faussone : bene ! Mi fa piacere citare un suo messaggio , molto semplice , che potrebbe costituire l'appiglio intuitivo cercato da mgrau; la densità diminuisce più di quanto dovrebbe , perchè la sezione si allarga dopo la sezione di gola , e perciò il fluido deve accelerare perché sia rispettata la costanza della portata. Questo mi piace !
Nelle pagine riportate ci sono gli andamenti delle caratteristiche fisiche lungo tutto l’ugello.
Faussone, si sente la tua mancanza!
"Shackle":
che dovrebbe soddisfare mgrau circa l'origine di M nell'equazione .
Grazie, Shackle. Purtroppo questa derivazione è completamente al di là dei miei mezzi.
"Shackle":
Ho visto che è intervenuto anche Faussone : bene ! Mi fa piacere citare un suo messaggio , molto semplice , che potrebbe costituire l'appiglio intuitivo cercato da mgrau; la densità diminuisce più di quanto dovrebbe , perchè la sezione si allarga dopo la sezione di gola , e perciò il fluido deve accelerare perché sia rispettata la costanza della portata.
Beh, a questo c'ero arrivato. Il problema è: perchè? Come mai questo succede solo se il flusso è supersonico?
Non vorrei dovermi attenere al precetto del padre Dante, col suo State contenti, umana gente, al quia
E trovo molto interessante l'esempio del flusso di automobili, che ha il merito, secondo me, di poter essere trattato lasciando completamente fuori la termodinamica, pur essendo un fenomeno che mi pare presenti forti analogie con un flusso di gas.
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