Velocità di un corpo sottoposto ad una forza centrale

[bug54]

Ho il seguente problemino:
Una particella di massa m si muove in un campo di forza centrale $F = k/r^n$, in cui k ed n sono costanti positive. Essa parte da ferma in un punto r = a ed arriva in r = 0 con modulo di velocità finito $v_0$.Dimostrare che la velocità in 0 è $v_0^2=2ka^(1-n)/(m(n-1))$ e che n deve essere minore di 1.

Parto da $F = ma =mv (dv)/(dr)=k/r^n$, ossia $v dv=(k/m)r^-n dr$, integrando da $0$ a $v_0$ e da $a$ a $0$ si ha $v_0^2=2k(1-a^(1-n))/(m(1-n))$.
Che non è la risposta del testo, ho sbagliato qualcosa?

[Shackle]

Ho controllato, la risposta del libro è giusta, forse hai fatto qualche errore nel calcolare gli integrali.

Ma mi pare che debba essere $(n-1) >0$ cioè $n>1$ e non minore, altrimenti $v_0^2$ sarebbe negativo.

[ingres]

Secondo me comunque il problema ha delle inesattezze sia nel testo che nella soluzione.
Se la particella parte da ferma da r=a e la forza non è attrattiva ma repulsiva fisicamente non potrà mai arrivare a r=0. Quindi dovrebbe essere:

$vec F = -k/r^n vec u_r$ e quindi
$m vec a = -k/r^n vec u_r$

A questo punto passando moltiplicando ambo i membri per $vec v = (dr)/dt vec u_r$ si avrà l'equazione scalare

$m v dv = -k/r^n dr$

e quindi integrando

$int_0^(v_0) m v dv = int_a^0 -k/r^n dr$

e tenendo conto che il secondo integrale è convergente solo per n<1, si avrà

$1/2 m v_0^2 =(ka^(1-n))/(1-n)$

$ v_0^2 =(2 ka^(1-n))/(m(1-n))$

[Shackle]

Se la particella parte da ferma da r=a e la forza non è attrattiva ma repulsiva fisicamente non potrà mai arrivare a r=0.

Questo è ovvio, ma il testo dice che la particella si sposta da $r=a$ ad $r=0$ . Quindi la forza non può che essere attrattiva.

[ingres]

"Shackle":Quindi la forza non può che essere attrattiva

Corretto e proprio per questo ho introdotto il segno negativo.
Questo mette a posto anche l'inconsistenza del risultato dove deve essere n<1 per la convergenza dell'integrale e nel contempo n>1 perchè altrimenti abbiamo una velocità immaginaria.

[bug54]

Grazie, tutto molto chiaro.

[Shackle]

deve essere n<1 per la convergenza dell'integrale

Questo non lo capisco. Mi sfugge qualcosa? Riporto il mio svolgimento, tenendo conto che $F= k/r^n$ è il modulo della forza , per cui é positivo :

$F=k/r^n = ma = m (dv)/(dt) = mv (dv)/(dr) $

Quindi : $mv*dv = k/r^n*dr \rarr v*dv = k/m*r^(-n) dr$

Integrando :

$\int_0^(v_0) vdv = k/m\int_a^0 r^(-n)dr $

Cioé: $[v^2/2]_0^(v_0) =k/m[ r^(-n+1)/(-n+1)]_a^0 $

da cui : $ v_0^2/2 = k/m[0- (a^(-n+1))/(-n+1)]$

$v_0^2 = (2k)/m (- (a^(1-n))/(1-n) )$

cioé in definitiva :$v_0^2 = (2k)/m * (a^(1-n))/(n-1)$

che è la risposta del libro, ma deve essere $(n-1) >0 $

Che c’è che non va?

[ingres]

Se n>1 il termine $r^(-n+1)$ per r=0 non va a zero ma all'infinito.

[Shackle]

@Ingres

Guardiamo l’espressione che dà il testo per la forza , o meglio il suo modulo. Zorrok ha scritto :

Una particella di massa m si muove in un campo di forza centrale $F=k/r^n,$ in cui k ed n sono costanti positive

Abbiamo già capito che la forza deve essere attrattiva. Tu dici che $n$ non può essere maggiore di 1 . Ma a me sembra che il caso n=2 sia proprio quello della forza gravitazionale conservativa che dovremmo ben conoscere.

http://pierazzini.unipi.it/giuseppe/fis ... fI/F17.pdf

non entriamo nel merito di momento angolare che si conserva, potenziale efficace, barriera centrifuga e compagnia bella...Ma sappiamo anche che quella espressione di $F$ non è più valida per $r=0$ perché la frazione andrebbe all’infinito, tant’è vero che nella legge di gravitazione universale ci si ferma alla superficie del corpo che “attrae” , mentre all’interno il potenziale gravitazionale va linearmente a zero nell’origine. Tanto per intenderci, allego un estratto dal Mencuccini-Silvestrini :

Questo autore fa delle considerazioni interessanti circa l’esponente di $r$ :

https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/r ... y/four.pdf

[ingres]

La forza gravitazionale, che è attrattiva, infatti ha un segno negativo. Nè potrebbe essere altrimenti per una forza centrale attrattiva verso il centro (basti pensare anche alla forza di una molla agente in senso radiale su una massa oppure alla forza di Coulomb di attrazione tra carica positiva e negativa).

Per quanto riguarda l'esponente non è che la soluzione di questo particolare problema imponga la non esistenza di forze con n >1, ma solo che se si ammette che, nelle condizioni indicate, la massa riesce ad arrivare a r=0 con una velocità finita allora in questo caso e solo in questo caso deve essere n<1.

E' semplice vedere che questo non accade ad es. con la forza gravitazionale (beninteso nell'ambito della meccanica classica e assumendo puntiforme e fissa la massa centrale).

[Shackle]

La forza gravitazionale, che è attrattiva, infatti ha un segno negativo

Il segno “della componente “ di $vecF$ (forza gravitazionale) dipende da come orienti il versore!
Ma noi Non stiamo parlando di “componente “ di un vettore, che può avere segno positivo o negativo perché la componente è data da “segno + modulo “ . Stiamo parlando solo del modulo $ F =k/r^2$ , e il modulo è una quantità positiva.
Non fare l’errore che fanno a volte gli studenti , quando ignorano la differenza tra vettore, il componente, la componente, e il modulo.

La soluzione del libro di Zorrok è giusta, quello che non è giusto è affermare che dev’essere $n<1$ , altrimenti risulterebbe $v^2<0$: l’errore è già nel testo.

Certo che quando $r$ tende a zero la quantità $k/r^2$ tende a infinito, ma leggiti il Mencuccini, e in particolare il diagramma della forza $F$ : la formula Newtoniana vale esternamente fino alla sfera di raggio $R$ e massa M, che attrae la massa di prova $m$ .
Perciò la pretesa di mantenere una velocità finita fino a r = 0 è sbagliata.

[bug54]

nellla prima risposta di ingres è sbagliato porre l'accelerazione concorde con il versore, in quanto se pensiamo l'asse r coincidente con l'asse y la forza vettore deve avere un segno meno (in corpo si dirige vero l'origine), ma anche la velocità deve avere segno negativo, per cui mi pare che Shakle abbia ragione.

[ingres]

L'equazione del moto in coordinate sferiche (quindi sono già assegnati i versori del sistema di riferimento) nel caso di moto puramente radiale ($theta$ costante) è

$m ddotr vec u_r = vec F$

si veda https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ?p=8464489 oppure il primo allegato di Shackle per il caso della gravitazione.
Ora se in questa equazione scrivo

$vec F=k/r^n vec u_r$

è immediato osservare che l'accelerazione radiale che ne risulta è positiva e quindi v e quindi r aumentano e pertanto siamo in presenza di una forza repulsiva (è quello che accade con la forza coulombiana tra due cariche positive). Quindi, come anche riportato nell'allegato di Shackle (si veda pure l'esempio del caso elastico a pag.3) l'equazione in termini vettoriali deve essere con il segno negativo:

$m ddotr vec u_r = -k/r^n vec u_r$

a cui corrisponde un moto diretto verso il centro (attrattivo). A questo punto e solo a questo punto si può passare agli scalari e andare avanti.

Per quello che riguarda il discorso fisico è ovvio che a un certo punto l'approssimazione della massa puntiforme non avrà senso, ma, secondo me, non ha neanche senso caricare l'esercizio di significati particolari. E' il classico esercizio astratto più matematico che fisico.

Comunque anche volendo essere precisi e quindi considerare valida l'equazione fino ad una piccola sfera di raggio R e da lì in poi la forza decrescente fino a zero, si può facilmente verificare che per n>1 il risultato è ben diverso da quello riportato come soluzione dell'esercizio stesso.

[Lampo1089]

Mi pare che ingres abbia ragione. La forza deve essere attrattiva (altrimenti il corpo, partendo da fermo, mica ci arriva in zero) e infine la soluzione del testo è sbagliata per un fattore meno mancante - fate caso alla soluzione di ingres che riporta a denominatore (1-n)

Un altro modo equivalente di interpretare il problema è ragionare con i potenziali del campo e in particolar trovare quei potenziali che sono finiti nell'origine - che sono appunto quelli per n < 1

[Shackle]

Voi parlate di vettori e quindi di “componenti “ , che hanno segno perché le componenti ce l’hanno, positivo o negativo a seconda che il vettore sia concorde o discorde con l’asse orientato.
Io invece parlo di modulo, e il modulo è positivo e basta, come il valore assoluto di un numero reale.

Per me il testo è semplicemente sbagliato. Quando dice: “ dimostrare che $v^2 =….$ (quella roba lì!) e che dev’essere $n<1$ “ , si dà una zappa sui piedi, perché non si rende conto che per n<1 risulterebbe $ v^2<0$ , il che è assurdo.
All’inizio il testo dice che k ed n sono positive. La distanza r è anche essa positiva ( la funzione potenza $r^n$ è definita per r>0) , quindi F è un modulo.

Ingres, perché arbitrariamente cambi un segno nel testo, per salvare capra e cavoli?!

Questo è il mio pensiero, non lo abbandono.

[ingres]

@Shackle

"Shackle":Io invece parlo di modulo, e il modulo è positivo e basta, come il valore assoluto di un numero reale.

Nessuno contesta che il modulo sia positivo, ma il fatto di scrivere l'equazione del moto in funzione del solo modulo senza tener conto del verso.
Faccio un semplice esempio: il modulo della forza di attrito viscoso è $kv^2$ con k positivo, ma ovviamente non si può scrivere $m(dv)/dt = kv^2$, che porterebbe all'assurdo che l'attrito fa aumentare la velocità!

"Shackle":Ingres, perché arbitrariamente cambi un segno nel testo, per salvare capra e cavoli?!

Non cambio segno nella soluzione per far tornare le cose, ma perchè facendo i conti risulta sbagliata la soluzione.
Una volta assodato che il segno negativo è necessario e che va introdotto, il risultato che ne consegue è automaticamente quello che ho scritto.

[Lampo1089]

"Shackle":

Per me il testo è semplicemente sbagliato. Quando dice: “ dimostrare che $v^2 =….$ (quella roba lì!) e che dev’essere $v<1$ “ , si dà una zappa sui piedi, perché non si rende conto che per n<1 risulterebbe $ v^2<0$ , il che è assurdo.

Infatti la soluzione riportata dal testo è sbagliata. Confrontala con la soluzione calcolata da ingres, che è corretta.

"Shackle":
Questo è il mio pensiero, non lo abbandono.

secondo me, se rileggi tutto il thread ti chiarificherai abbastanza. Il segno meno ingres l'ha introdotto per tenere conto del fatto che la forza è attrattiva. Cosa su cui, anche tu, eri concorde.

[Shackle]

Ho modificato il precedente messaggio, F dato dal testo è un modulo, sia k che n che r sono positivi.

[bug54]

e se ora volessimo calcolare il tempo della durata del moto?

[ingres]

Si riparte dall'equazione

$m v dv = -k/r^n dr$

e quindi integrando, stavolta in modo generico

$int_0^(v) m v' dv' = int_a^r -k/(r')^n dr'$

si ottiene il seguente integrale primo del moto, che altro non esprime che la conservazione dell'energia

$1/2 mv^2 =k/(1-n)*(a^(1-n)-r^(1-n))$

Prendo la soluzione con il segno negativo perchè la v è diretta in direzione opposta al versore radiale e scrivo

$v= -sqrt((2k)/(m(1-n))*(a^(1-n)-r^(1-n)))$

ma $v=(dr)/dt$ e quindi

$dt=-(dr)/sqrt((2k)/(m(1-n))*(a^(1-n)-r^(1-n)))$

e infine integrando

$int_0^T dt =-int_a^0 (dr)/sqrt((2k)/(m(1-n))*(a^(1-n)-r^(1-n)))$

ovvero

$T=sqrt((m(1-n))/(2k))*int_0^a (dr)/sqrt(a^(1-n)-r^(1-n))$

Dalle tabelle degli integrali si ha:

$int_0^a (dr)/sqrt(a^(1-n)-r^(1-n))=a^((n+1)/2)/(1-n)*(Gamma(1/(1-n))*Gamma(1/2))/(Gamma(1/(1-n)+1/2))$

e quindi

$T=sqrt((m*pi*a^(n+1))/(2k(1-n)))*(Gamma(1/(1-n)))/(Gamma(1/(1-n)+1/2))$

[bug54]

Ottimo.
Ma se ora volessimo pensare al caso della forza gravitazionale (o elettrostatica) dove $n = 2$ il radicando sarebbe negativo. Quindi questa soluzione implica che deve essere $n<1$. La forza nell'origine diverge. Allora potremo pensare di calcolare non fra $a$ e $0$ ma fra $a$ e $R$ dove $0

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