Velocità di un corpo sottoposto ad una forza centrale
Ho il seguente problemino:
Una particella di massa m si muove in un campo di forza centrale $F = k/r^n$, in cui k ed n sono costanti positive. Essa parte da ferma in un punto r = a ed arriva in r = 0 con modulo di velocità finito $v_0$.Dimostrare che la velocità in 0 è $v_0^2=2ka^(1-n)/(m(n-1))$ e che n deve essere minore di 1.
Parto da $F = ma =mv (dv)/(dr)=k/r^n$, ossia $v dv=(k/m)r^-n dr$, integrando da $0$ a $v_0$ e da $a$ a $0$ si ha $v_0^2=2k(1-a^(1-n))/(m(1-n))$.
Che non è la risposta del testo, ho sbagliato qualcosa?
Una particella di massa m si muove in un campo di forza centrale $F = k/r^n$, in cui k ed n sono costanti positive. Essa parte da ferma in un punto r = a ed arriva in r = 0 con modulo di velocità finito $v_0$.Dimostrare che la velocità in 0 è $v_0^2=2ka^(1-n)/(m(n-1))$ e che n deve essere minore di 1.
Parto da $F = ma =mv (dv)/(dr)=k/r^n$, ossia $v dv=(k/m)r^-n dr$, integrando da $0$ a $v_0$ e da $a$ a $0$ si ha $v_0^2=2k(1-a^(1-n))/(m(1-n))$.
Che non è la risposta del testo, ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Nel caso di n>1 si può scrivere (deriva banalmente da quanto già scritto ma puoi riverificare facendo tutti i calcoli)
$v=-sqrt((2k)/(m(n-1))*(1/r^(n-1)-1/a^(n-1))$
Se n>1 e r=R con 0
$T=int_R^a (dr)/sqrt((2k)/(m(n-1))*(1/r^(n-1)-1/a^(n-1))$
$v=-sqrt((2k)/(m(n-1))*(1/r^(n-1)-1/a^(n-1))$
Se n>1 e r=R con 0
$T=int_R^a (dr)/sqrt((2k)/(m(n-1))*(1/r^(n-1)-1/a^(n-1))$
Sta’ tranquillo Zorrok, nel caso del campo gravitazionale n = 2, come ci dice Newton e non solo. Leggiti le pagine del Mencuccini Silvestrini e renditi conto come variano il potenziale gravitazionale e la forza, sia fuori che dentro la sfera di raggio R.
Tempo fa , parlammo di come cadrebbe la terra sul Sole, se non ruotasse in orbita, per effetto della forza di gravità esercitata da questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8404582
e guarda un po’ , seguendo i vari link ho trovato che avevi già postato la stessa domanda di ora, e ti avevano risposto vari personaggi, che ora non ci sono più: navigatore, Tem ( grande dispiacere che si sia fatto cancellare , e abbia chiesto di eliminare i suoi post!) , nikikinki ....
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p837786
LA Soluzione dello Spiegel è sempre valida, io non ho buttato il libro.
Tempo fa , parlammo di come cadrebbe la terra sul Sole, se non ruotasse in orbita, per effetto della forza di gravità esercitata da questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8404582
e guarda un po’ , seguendo i vari link ho trovato che avevi già postato la stessa domanda di ora, e ti avevano risposto vari personaggi, che ora non ci sono più: navigatore, Tem ( grande dispiacere che si sia fatto cancellare , e abbia chiesto di eliminare i suoi post!) , nikikinki ....
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p837786
LA Soluzione dello Spiegel è sempre valida, io non ho buttato il libro.
E neanche io 
Si, avevo fatto questa domanda circa nove anni fa, ma appunto, essendo di nuovo di fronte a questo problema, vado nel mio post di allora e mi accorgo che sono stati cancellati gli interventi di TEM che spiegava il fenomeno. Diciamo che il problema si riduce ora al calcolo dell'ultimo integrale. Con Wolfram (con $n = 2$ e $k =GM_T$) si ha: $T=1/\sqrt(2GM_T)[a^(3/2)arctan((\sqrta)(\sqrt((1/R_T)-(1/a))+aR_T\sqrt((1/R_T)-(1/a))]$, mentre la soluzione dello Spiegel dice (ho espresso in funzione di "a" e non di h):
$(\sqrt((aR_T^2)/(2GM_T)))[\sqrt((a-R_T)/R_T)+(a/R_T)(1/2)arccos((2R_T-a)/a))$. Se mi ricordo TEM illustrava che le due formule sono equivalenti, ma a me interessa vedere come si arriva alla soluzione diretta dello Spiegel.
$(\sqrt((aR_T^2)/(2GM_T)))[\sqrt((a-R_T)/R_T)+(a/R_T)(1/2)arccos((2R_T-a)/a))$. Se mi ricordo TEM illustrava che le due formule sono equivalenti, ma a me interessa vedere come si arriva alla soluzione diretta dello Spiegel.
@zorrok
Per n=2 partendo dall'integrale dato si ottiene l'integrale in termini di $text(arctg)$ con la sostituzione
$1/(1/r-1/a) = a((r/a)/(1-r/a))=ax^2$
che trasforma l'integranda in una funzione razionale fratta.
Dopodichè si dovrebbe poter utilizzare la formula: $arctg(x) = arccos(1/sqrt(1+x^2))$ per ricondursi alla formula dello Spiegel.
Prova a vedere se i conti tornano. Altrimenti se vedi che ci sono problemi fammelo sapere e ci lavoro stasera con calma.
Per n=2 partendo dall'integrale dato si ottiene l'integrale in termini di $text(arctg)$ con la sostituzione
$1/(1/r-1/a) = a((r/a)/(1-r/a))=ax^2$
che trasforma l'integranda in una funzione razionale fratta.
Dopodichè si dovrebbe poter utilizzare la formula: $arctg(x) = arccos(1/sqrt(1+x^2))$ per ricondursi alla formula dello Spiegel.
Prova a vedere se i conti tornano. Altrimenti se vedi che ci sono problemi fammelo sapere e ci lavoro stasera con calma.
Ho manipolato la formula dello Spiegel, scrivendola così:
$T=\sqrt(a^3/(2k))[\sqrt((R_T(a-R_T)/a^2)(1-R_T/a)))+arccos\sqrt(R_T/a)]$
Operando la sostituzione da te proposta mi viene
$T=\sqrt(a^3/(2k))[R_T/a^(3/2)\sqrt(((a-R_T)/R_T))+arccos\sqrt(R_T/a)]$ ossia
$T=\sqrt(a^3/(2k))[\sqrt((R_T(a-R_T)/a^3))+arccos\sqrt(R_T/a)]$
Differisce solo per quel fattore $a$ al denominatore.
Ma quello che mi interessa a questo punto, se possibile, è derivare direttamente la formula dello Spiegel.
$T=\sqrt(a^3/(2k))[\sqrt((R_T(a-R_T)/a^2)(1-R_T/a)))+arccos\sqrt(R_T/a)]$
Operando la sostituzione da te proposta mi viene
$T=\sqrt(a^3/(2k))[R_T/a^(3/2)\sqrt(((a-R_T)/R_T))+arccos\sqrt(R_T/a)]$ ossia
$T=\sqrt(a^3/(2k))[\sqrt((R_T(a-R_T)/a^3))+arccos\sqrt(R_T/a)]$
Differisce solo per quel fattore $a$ al denominatore.
Ma quello che mi interessa a questo punto, se possibile, è derivare direttamente la formula dello Spiegel.
Dipende dal tipo si sostituzione che si fa. Ad es. partendo da
$T=int_R^a (dr)/sqrt((2k)/(m(n-1))*(1/r^(n-1)-1/a^(n-1))$
Per n=2 e ponendo $x=r/a$ si ottiene
$T=sqrt((ma^3)/(2k))*int_(R/a)^1 dx/sqrt(1/x-1)$
Poniamo adesso $x=y^2$, lecito perchè stiamo lavorando con numeri tutti positivi. Avremo
$T=sqrt((ma^3)/(2k))*int_(sqrt(R/a))^1 (2y^2)/sqrt(1-y^2)dy$
L' integrale
$int y^2/sqrt(1-y^2)dy$
si trova sulle tavole degli integrali (es. Schaum Spiegel "Manuale di Matematica") oppure da Wolfram, e comunque non è difficile da ottenere integrando per parti e con ulteriore sostituzione trigonometrica. Dalle tavole:
$int y^2/sqrt(1-y^2)dy=-(y sqrt(1-y^2))/2+1/2*arcsin(y)$
Quindi
$int_(sqrt(R/a))^1 (2y^2)/sqrt(1-y^2)dy=pi/2 + sqrt((R/a)*(1-R/a)) - arcsin(sqrt(R/a))$
ma $pi/2- arcsin(sqrt(R/a))=arccos(sqrt(R/a))$ (https://www.gobnf.com/formule/default.a ... 10392LKBP1) e quindi
$T = sqrt((ma^3)/(2k))*(sqrt((R/a)*(1-R/a))+arccos(sqrt(R/a)))$
$T=int_R^a (dr)/sqrt((2k)/(m(n-1))*(1/r^(n-1)-1/a^(n-1))$
Per n=2 e ponendo $x=r/a$ si ottiene
$T=sqrt((ma^3)/(2k))*int_(R/a)^1 dx/sqrt(1/x-1)$
Poniamo adesso $x=y^2$, lecito perchè stiamo lavorando con numeri tutti positivi. Avremo
$T=sqrt((ma^3)/(2k))*int_(sqrt(R/a))^1 (2y^2)/sqrt(1-y^2)dy$
L' integrale
$int y^2/sqrt(1-y^2)dy$
si trova sulle tavole degli integrali (es. Schaum Spiegel "Manuale di Matematica") oppure da Wolfram, e comunque non è difficile da ottenere integrando per parti e con ulteriore sostituzione trigonometrica. Dalle tavole:
$int y^2/sqrt(1-y^2)dy=-(y sqrt(1-y^2))/2+1/2*arcsin(y)$
Quindi
$int_(sqrt(R/a))^1 (2y^2)/sqrt(1-y^2)dy=pi/2 + sqrt((R/a)*(1-R/a)) - arcsin(sqrt(R/a))$
ma $pi/2- arcsin(sqrt(R/a))=arccos(sqrt(R/a))$ (https://www.gobnf.com/formule/default.a ... 10392LKBP1) e quindi
$T = sqrt((ma^3)/(2k))*(sqrt((R/a)*(1-R/a))+arccos(sqrt(R/a)))$
Magnifico! Ti ringrazio tanto, adesso tutto è chiaro come il sole.
Ma ci siamo "appoggiati" alla relazione di T che era stata derivata considerando il moto di caduta, considerando che essendo il moto simmetrico, il tempo di caduta è uguale a quello di salita.
Volendo essere puntigliosi si potrebbe ripartire dall'eq. del moto $F=ma;m(d^2r)/dt=-(GM_Tm)/r^2$ ossia
$(d^2r)/dt^2=-k/r^2$ (con $k=GM_T$) con le condizioni iniziali $r(0)=R_T$ e $v(0)=v_0$. Ora la costante di integrazione sarebbe $c_1=v_0^2-(2k)/R_T$ e quindi
$v^2=\sqrt((2k/r)+v_0^2-2k/R_T))$
e l'integrale diventa, per il moto di salita di un razzo che parte verticalmente dalla superficie della Terra con velocità $v_0$ fino a raggiungere l'altezza massima $a$
$T=\int_(R_T)^(a) (dr)/(\sqrt(((2k)/r)+v_0^2-(2k)/R_T))=1/\sqrt(2k)\int_(R_T)^(a) (dr)/(\sqrt(((1)/r)+v_0^2/(2k)-1/R_T)) $, se poniamo $A=v_0^2/(2k)-1/R_T$ si ha
$T=1/\sqrt(2k)\int_(R_T)^(a) (dr)/(\sqrt(((1)/r)+A$
Nella soluzione (con Wolfram) è presente un arcotangente iperbolica.
Stò facendo i passaggi corretti?
Ma ci siamo "appoggiati" alla relazione di T che era stata derivata considerando il moto di caduta, considerando che essendo il moto simmetrico, il tempo di caduta è uguale a quello di salita.
Volendo essere puntigliosi si potrebbe ripartire dall'eq. del moto $F=ma;m(d^2r)/dt=-(GM_Tm)/r^2$ ossia
$(d^2r)/dt^2=-k/r^2$ (con $k=GM_T$) con le condizioni iniziali $r(0)=R_T$ e $v(0)=v_0$. Ora la costante di integrazione sarebbe $c_1=v_0^2-(2k)/R_T$ e quindi
$v^2=\sqrt((2k/r)+v_0^2-2k/R_T))$
e l'integrale diventa, per il moto di salita di un razzo che parte verticalmente dalla superficie della Terra con velocità $v_0$ fino a raggiungere l'altezza massima $a$
$T=\int_(R_T)^(a) (dr)/(\sqrt(((2k)/r)+v_0^2-(2k)/R_T))=1/\sqrt(2k)\int_(R_T)^(a) (dr)/(\sqrt(((1)/r)+v_0^2/(2k)-1/R_T)) $, se poniamo $A=v_0^2/(2k)-1/R_T$ si ha
$T=1/\sqrt(2k)\int_(R_T)^(a) (dr)/(\sqrt(((1)/r)+A$
Nella soluzione (con Wolfram) è presente un arcotangente iperbolica.
Stò facendo i passaggi corretti?
I passaggi sono corretti, ma devi tener conto che A<0 (si vede facilmente nell'espressione che fornisce la v che se non fosse così la velocità non potrebbe annullarsi).
Quindi mi aspetto che nel risultato di Wolfram l'arcotangente iperbolica sia funzione di $sqrt(A)$ e che a questo punto risulti funzione di una quantità immaginaria. A questo punto vale la relazione
$arctgh(x)=i*arctg(-i*x)$
(cfr. https://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_ ... _complesso)
che dovrebbe permetterti di ritrovare il risultato atteso.
Quindi mi aspetto che nel risultato di Wolfram l'arcotangente iperbolica sia funzione di $sqrt(A)$ e che a questo punto risulti funzione di una quantità immaginaria. A questo punto vale la relazione
$arctgh(x)=i*arctg(-i*x)$
(cfr. https://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_ ... _complesso)
che dovrebbe permetterti di ritrovare il risultato atteso.
Allora l'integrale diventa
$T=1/\sqrt(2k)\int_(R_T)^(a) (dr)/(\sqrt(((1)/r)-A$ con $A=1/R_T-v_0^2/(2k)>0$ la soluzione sarebbe
$T=(1/\sqrt(2k))[-((1/A^(3/2))arctan(\sqrt((1/r)-A))/\sqrtA)-(1/A)(r(\sqrt(1/r)-A)]$
calcolato da $R_T$ad $a$
Adesso si dovrebbe sostituire ad A la sua espressione e fare i calcoletti, giusto?
$T=1/\sqrt(2k)\int_(R_T)^(a) (dr)/(\sqrt(((1)/r)-A$ con $A=1/R_T-v_0^2/(2k)>0$ la soluzione sarebbe
$T=(1/\sqrt(2k))[-((1/A^(3/2))arctan(\sqrt((1/r)-A))/\sqrtA)-(1/A)(r(\sqrt(1/r)-A)]$
calcolato da $R_T$ad $a$
Adesso si dovrebbe sostituire ad A la sua espressione e fare i calcoletti, giusto?
Si, esatto, dove r=a dovrebbe essere il punto in cui si annulla la velocità ovvero
$a=(2k)/((2k)/R_t-v_0^2)$
$a=(2k)/((2k)/R_t-v_0^2)$
Si, ma ora si pone un problema di pazienza nel fare i calcoletti. Vediamo se ci riesco.
Ma in effetti basta esprimere, nell'espressione di $v^2$, $v_0^2$ in funzione di $a$ e si riottiene l'espressione identica a quella del caso di discesa.
Ottimo
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