Velocità di fase e di gruppo
Che differenza c'è tra la velocità di fase e di grupo di un'onda (meccanica o elettromagnetica)
E soprattutto : come può avvenire che la velocità di fase superi c senza violare la relatività ristretta ?
E soprattutto : come può avvenire che la velocità di fase superi c senza violare la relatività ristretta ?
Risposte
Premessa: io non ho mai affrontato lo studio della relatività, tuttavia proverò a risponderti.
La velocità di fase è più alta della velocità della luce, ma non perché parte da una velocità inferiore per poi superarla; difatti la relatività afferma proprio questo, ovvero non è possibile superare c partendo da velocità inferiori. La velocità di fase è così alta perché l'onda non trasporta materia, così spiega che ha velocità maggiore rispetto alla luce.
Aspetta ulteriori lumi!
La velocità di fase è più alta della velocità della luce, ma non perché parte da una velocità inferiore per poi superarla; difatti la relatività afferma proprio questo, ovvero non è possibile superare c partendo da velocità inferiori. La velocità di fase è così alta perché l'onda non trasporta materia, così spiega che ha velocità maggiore rispetto alla luce.
Aspetta ulteriori lumi!
La velocità di fase può superare c perchè è semplicemente la velocità di un punto messo ( ad esempio) su un ventre dell'onda?
A questo punto mi chiedo : sebbene dimensionalmente sia una velocità, fisicamente, nel caso delle onde elettromagnetiche, a cosa corrisponde ?
Deduco, infine che la velocità di gruppo è velocità del "segnale" che l'onda trasporta. E quindi deve sottostare alla RR.
Corretto ?
A questo punto mi chiedo : sebbene dimensionalmente sia una velocità, fisicamente, nel caso delle onde elettromagnetiche, a cosa corrisponde ?
Deduco, infine che la velocità di gruppo è velocità del "segnale" che l'onda trasporta. E quindi deve sottostare alla RR.
Corretto ?
Confermo che la velocitá di fase puó essere maggiore di "c", ma non quella di gruppo.
Nel Novembre 1990, secondoo anno di Fisica, la cosa diede luogo a discussioni con il docente, durante una lezione di Fisichetta II
Lo trovi spiegato molto bene a pag. 65 di
Alessandro Bettini, Le Onde e la Luce, CLEUP Editore.
SALUTONI
Nel Novembre 1990, secondoo anno di Fisica, la cosa diede luogo a discussioni con il docente, durante una lezione di Fisichetta II
Lo trovi spiegato molto bene a pag. 65 di
Alessandro Bettini, Le Onde e la Luce, CLEUP Editore.
SALUTONI
Ho dato un'occhiata a vari tomi...vediamo se ho capito.
La velocità di fase è la velocità di un punto che, per esempio, poniamo sulla cresta dell'onda.
Man mano che l'onda evolve (nel tempo o nello spazio), questo punto si muove e dunque la velocità di fase è data dal rapporto tra pulsazione e numero d'onda
$V_f=omega/k=lambda*f/ $
Questa velocità può essere anche maggiore della velocità della luce, perchè si riferisce prettamente ad un moto "apparente": non c'è materia o energia che si sposta a quella velocità e quindi non abbiamo problemi con la RR.
Ora passiamo alla velocità di gruppo.
Prendiamo due onde di frequenza diversa e facciamole viaggiare sullo stesso canale. A causa della differente frequenza, avranno differenti velocità di fase, e quindi interferiranno tra loro.
Nelle zone di interferenza costruttiva, cioè quando sono "in fase" ( quando si sommano e raggiungono la massima ampiezza, insomma), avremo un "pacchetto d'onde", che "contiene" entrambe le onde.
Per far si che questo avvenga ( cioè le onde siano in fase) dobbiamo fare in modo che la differenza tra le fasi delle due onde sia costante ( o più comodamente, nulla).
E visto che l'onda può essere scritta come :
$psi(z,t)=cos(k*z-omega*t+phi)$
Se la differenza di fase di due onde $psi_1$ e $psi_2$ è nulla, si ha che :
$(omega_1-omega_2)*t= (k_1-k_2)*z rArr z/t=(omega_1-omega_2)/(k_1-k_2)$
Dunque, estendendo a frequenze continue ed intervalli infinitesimi il ragionamento avremo ricavato l’espressione della velocità di gruppo, ossia del pacchetto delle due onde.
$V_g=d(omega)/(dk)$
Se il mezzo attraverso cui si propaga l'onda non è dispersivo, ossia $omega$ non dipende da $k$, la velocità di fase coincide con quella di gruppo e vale $V_f=V_g=omega/k$
Se il mezzo è dispersivo, e cioè $omega$ varia al variare di k, avremo che la velocità di gruppo, è diversa dalla velocità di fase e rappresenta la velocità con cui si muove il pacchetto d'onde.
Ho capito dunque la differenza tra vel di fase e di gruppo e il motivo della non violazione della RR ?
Errori ? Volete aggiungere qualcosa ?
La velocità di fase è la velocità di un punto che, per esempio, poniamo sulla cresta dell'onda.
Man mano che l'onda evolve (nel tempo o nello spazio), questo punto si muove e dunque la velocità di fase è data dal rapporto tra pulsazione e numero d'onda
$V_f=omega/k=lambda*f/ $
Questa velocità può essere anche maggiore della velocità della luce, perchè si riferisce prettamente ad un moto "apparente": non c'è materia o energia che si sposta a quella velocità e quindi non abbiamo problemi con la RR.
Ora passiamo alla velocità di gruppo.
Prendiamo due onde di frequenza diversa e facciamole viaggiare sullo stesso canale. A causa della differente frequenza, avranno differenti velocità di fase, e quindi interferiranno tra loro.
Nelle zone di interferenza costruttiva, cioè quando sono "in fase" ( quando si sommano e raggiungono la massima ampiezza, insomma), avremo un "pacchetto d'onde", che "contiene" entrambe le onde.
Per far si che questo avvenga ( cioè le onde siano in fase) dobbiamo fare in modo che la differenza tra le fasi delle due onde sia costante ( o più comodamente, nulla).
E visto che l'onda può essere scritta come :
$psi(z,t)=cos(k*z-omega*t+phi)$
Se la differenza di fase di due onde $psi_1$ e $psi_2$ è nulla, si ha che :
$(omega_1-omega_2)*t= (k_1-k_2)*z rArr z/t=(omega_1-omega_2)/(k_1-k_2)$
Dunque, estendendo a frequenze continue ed intervalli infinitesimi il ragionamento avremo ricavato l’espressione della velocità di gruppo, ossia del pacchetto delle due onde.
$V_g=d(omega)/(dk)$
Se il mezzo attraverso cui si propaga l'onda non è dispersivo, ossia $omega$ non dipende da $k$, la velocità di fase coincide con quella di gruppo e vale $V_f=V_g=omega/k$
Se il mezzo è dispersivo, e cioè $omega$ varia al variare di k, avremo che la velocità di gruppo, è diversa dalla velocità di fase e rappresenta la velocità con cui si muove il pacchetto d'onde.
Ho capito dunque la differenza tra vel di fase e di gruppo e il motivo della non violazione della RR ?
Errori ? Volete aggiungere qualcosa ?
Il ragionamento è giusto; vorrei aggiungere qualcosa: vale sempre la seguente
$ v_(g)v_f=c^2
$ v_(g)v_f=c^2
Questa tua relazione vale solo per mezzi non dispersivi ( ovvio) o anche per i mezzi non dispersivi ?
"spassky":
Questa tua relazione vale solo per mezzi non dispersivi ( ovvio) o anche per i mezzi non dispersivi ?
credo che valga solo per i mezzi non dispersivi ma non ci giurerei
"spassky":
E visto che l'onda può essere scritta come :
$psi(z,t)=cos(k*z-omega*t+phi)$
Se la differenza di fase di due onde $psi_1$ e $psi_2$ è nulla, si ha che :
$(omega_1-omega_2)*t= (k_1-k_2)*z rArr z/t=(omega_1-omega_2)/(k_1-k_2)$
Dunque, estendendo a frequenze continue ed intervalli infinitesimi il ragionamento avremo ricavato l’espressione della velocità di gruppo, ossia del pacchetto delle due onde.
$V_g=d(omega)/(dk)$
se le onde sono 2 ok ma se ho una sommatoria di onde diverse come mi comporto per trovare la v del pacchetto di onde, per esempio gaussiano?
ok penso di aver dimostrato che la v è $(domega(k))/(dk)$ in un pacchetto
allora partiamo così:
se ho $psi(r,t)=Acos(kr-omegat)$ e impongo la quota costante (cioè fisso la funzione su un punto del fronte d'onda)
ottengo $Acos(kr-omegat)=cost => kr-omegat=cost $
ora guardo come questo moto varia nel tempo
$ (d(kr-omegat))/(dt)=0$
$=> v=omega/k$
se invece ho un pacchetto di onde $psi(r,t)=intphi(k)e^(j(kr-omega(k)t)) dk$
omega dipende da k perchè in trasmissione un mezzo fa passare + o - bene frequenze diverse quindi il rapporto $omega/k$ varia perchè la v nel mezzo di frequenze diverse varia.
Allora si dice che omega varia in funzione di k.
Fin qui ok, adesso risolvere l'integrale con $phi(k)$ e $omega(k)$ incogniti per ottenere l'espressione del pacchetto è un casino, ci ho provato.
Quindi dico che se le fasi rimangono tutte costanti allora anche il valore dell'integrale non varia.
$=> kr-omega(k)t=cost$ per tutte le onde quindi $AA k$
ottengo quindi $ r-(domega(k))/(dk) t=0$ che è analoga all'esempio prima
$=> v(k)=(domega(k))/(dk)$
adesso se esiste una dipendenza di omega da k io ovviamente mi aspetto che il pacchetto si deformi, quindi in realtà io ho trovato l'espressione delle velocità delle diverse onde componenti in un punto del fronte d'onda
fin qui tutto bene? che dite? aspetto critiche
adesso come faccio a trovare la v con cui si sposta realmente il max di questo pacchetto? faccio una media? e ottengo quindi una stima? o cè un modo migliore?
ci sto pensando ma non riesco proprio a capire come ottenere come varia il max prescindendo dalla forma di $psi$
allora partiamo così:
se ho $psi(r,t)=Acos(kr-omegat)$ e impongo la quota costante (cioè fisso la funzione su un punto del fronte d'onda)
ottengo $Acos(kr-omegat)=cost => kr-omegat=cost $
ora guardo come questo moto varia nel tempo
$ (d(kr-omegat))/(dt)=0$
$=> v=omega/k$
se invece ho un pacchetto di onde $psi(r,t)=intphi(k)e^(j(kr-omega(k)t)) dk$
omega dipende da k perchè in trasmissione un mezzo fa passare + o - bene frequenze diverse quindi il rapporto $omega/k$ varia perchè la v nel mezzo di frequenze diverse varia.
Allora si dice che omega varia in funzione di k.
Fin qui ok, adesso risolvere l'integrale con $phi(k)$ e $omega(k)$ incogniti per ottenere l'espressione del pacchetto è un casino, ci ho provato.
Quindi dico che se le fasi rimangono tutte costanti allora anche il valore dell'integrale non varia.
$=> kr-omega(k)t=cost$ per tutte le onde quindi $AA k$
ottengo quindi $ r-(domega(k))/(dk) t=0$ che è analoga all'esempio prima
$=> v(k)=(domega(k))/(dk)$
adesso se esiste una dipendenza di omega da k io ovviamente mi aspetto che il pacchetto si deformi, quindi in realtà io ho trovato l'espressione delle velocità delle diverse onde componenti in un punto del fronte d'onda
fin qui tutto bene? che dite? aspetto critiche
adesso come faccio a trovare la v con cui si sposta realmente il max di questo pacchetto? faccio una media? e ottengo quindi una stima? o cè un modo migliore?
ci sto pensando ma non riesco proprio a capire come ottenere come varia il max prescindendo dalla forma di $psi$
il ragionamento mi pare fili... la $v(k)=(domega(k))/(dk)$ così trovata rappresenta la velocità dell onda componente con numero k in un punto del fronte d'onda (per intendersi un punto del pacchetto d'onde)
ora però quello che non capisco è come si possa dire la v del massimo; cioè questa espressione varia in funzione di k quindi se il pacchetto è costituito da 50 onde con 50 k diversi ognuna di queste avrà una v diversa... se sono nel massimo per vedere con che v si sposta è un casino perchè tutte le onde che erano in fase in quel punto poi vanno ognuna per zzi sua...
una cosa che mi viene in mente è guardare la v più "di moda" cioè guardare qual'è la v più presente in v(k)... (non pensavo ad una media perchè ogni onda si muove con v(k) e non volevo attribuire una v che non ha a nessuna onda almeno non avventatamente)
(anche se una media darebbe una buona stima... forse)
questa $v_0$ sarebbe la v con cui la maggioranza dei massimi delle onde si muovono, se pensiamo di trovarci sul massimo.
perciò rappresenta come il massimo si sposta.
questo se consideriamo le ampiezze delle onde tutte uguali perchè se non lo fossero e un' onda fosse con A molto grande basterebbe il suo massimo a determinare il massimo totale...
aiuto!
ora però quello che non capisco è come si possa dire la v del massimo; cioè questa espressione varia in funzione di k quindi se il pacchetto è costituito da 50 onde con 50 k diversi ognuna di queste avrà una v diversa... se sono nel massimo per vedere con che v si sposta è un casino perchè tutte le onde che erano in fase in quel punto poi vanno ognuna per zzi sua...
una cosa che mi viene in mente è guardare la v più "di moda" cioè guardare qual'è la v più presente in v(k)... (non pensavo ad una media perchè ogni onda si muove con v(k) e non volevo attribuire una v che non ha a nessuna onda almeno non avventatamente)
(anche se una media darebbe una buona stima... forse)
questa $v_0$ sarebbe la v con cui la maggioranza dei massimi delle onde si muovono, se pensiamo di trovarci sul massimo.
perciò rappresenta come il massimo si sposta.
questo se consideriamo le ampiezze delle onde tutte uguali perchè se non lo fossero e un' onda fosse con A molto grande basterebbe il suo massimo a determinare il massimo totale...
aiuto!
Salve a tutti, sono nuovo in questo forum.
L'argomento velocità di fase e di gruppo mi ha sempre appassionato, anche se non posso proprio dire di averlo capito bene.
Però quello che so è:
1. Nelle trattazioni che ho visto finora, si considerano pacchetti d'onde "semplificati" nel senso che i numeri d'onda k sono diversi da 0 solo in un piccolo intorno di un valore centrale $k_0$.
2. Non è vero che la velocità di gruppo non può superare c. La può superare, per esempio nella "dispersione anomala". In questo caso però non è la velocità di gruppo che ha significato fisico, ma la "velocità del segnale", e risulta che questa è inferiore a c:
http://lescienze.espresso.repubblica.it ... ce/1290964
http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/do ... 60116d001/
L'argomento velocità di fase e di gruppo mi ha sempre appassionato, anche se non posso proprio dire di averlo capito bene.
Però quello che so è:
1. Nelle trattazioni che ho visto finora, si considerano pacchetti d'onde "semplificati" nel senso che i numeri d'onda k sono diversi da 0 solo in un piccolo intorno di un valore centrale $k_0$.
2. Non è vero che la velocità di gruppo non può superare c. La può superare, per esempio nella "dispersione anomala". In questo caso però non è la velocità di gruppo che ha significato fisico, ma la "velocità del segnale", e risulta che questa è inferiore a c:
http://lescienze.espresso.repubblica.it ... ce/1290964
http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/do ... 60116d001/
no dai davvero... un ne sapete nulla???
datemi del cretino piuttosto sono disposto a parlarne
datemi del cretino piuttosto sono disposto a parlarne
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