Velocità del suono in condotti a sezione variabile
È possibile valutare la velocità di propagazione dei piccoli disturbi di pressione in un fluido in quiete attraverso un condotto a sezione costante, applicando le equazioni di bilancio per moti quasi-stazionari e quasi-unidimensionali:
$\{(dp=\rhoadV),((d\rho)/\rho=(dV)/a):}\Leftrightarrowa^2=(dp)/(d\rho)|_s$
Supponendo di avere un condotto a sezione variabile, nell'equazione di conservazione della massa dovrebbe comparire il termine $(dA)/A$ e quindi la definizione dovrebbe cambiare.
In realtà, per condotti a sezione variabile modellabili con le ipotesi di moto stazionario, unidimensionale ed isoentropico, si ottiene il seguente risultato di notevole importanza nella trattazione gasdinamica:
$\{(dp+\rhoVdV=0),((d\rho)/\rho+(dV)/V+(dA)/A=0):}\Leftrightarrow\{((dp)/\rho=-VdV),((d\rho)/\rho*(dp)/(dp)+(dV)/V+(dA)/A=0):}\Leftrightarrow(dA)/A=(M^2-1)(dV)/V$ con $M=V/a$
in cui si sta implicitamente supponendo che le variazioni di sezione non influenzino la definizione di $a$.
Perché?
Grazie in anticipo!
$\{(dp=\rhoadV),((d\rho)/\rho=(dV)/a):}\Leftrightarrowa^2=(dp)/(d\rho)|_s$
Supponendo di avere un condotto a sezione variabile, nell'equazione di conservazione della massa dovrebbe comparire il termine $(dA)/A$ e quindi la definizione dovrebbe cambiare.
In realtà, per condotti a sezione variabile modellabili con le ipotesi di moto stazionario, unidimensionale ed isoentropico, si ottiene il seguente risultato di notevole importanza nella trattazione gasdinamica:
$\{(dp+\rhoVdV=0),((d\rho)/\rho+(dV)/V+(dA)/A=0):}\Leftrightarrow\{((dp)/\rho=-VdV),((d\rho)/\rho*(dp)/(dp)+(dV)/V+(dA)/A=0):}\Leftrightarrow(dA)/A=(M^2-1)(dV)/V$ con $M=V/a$
in cui si sta implicitamente supponendo che le variazioni di sezione non influenzino la definizione di $a$.
Perché?
Grazie in anticipo!
Risposte
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https://www.matematicamente.it/forum/vi ... l#p8389866
Poi tra un po’ arriva Faussone .
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... l#p8389866
Poi tra un po’ arriva Faussone .
Innanzitutto grazie, sia per la disponibilità che per il materiale! Ho dato una rapida occhiata alla discussione, ma non mi sembra sia stato trattato il problema in questione. Mi è ben chiaro che in un ugello convergente il Mach tenda ad uno e che in uno divergente "si allontani" da 1. Ciò che non capisco è perché la velocità del suono non risenta delle variazioni di sezioni. Evidentemente il problema è dovuto alle ipotesi fatte: un piccolo disturbo di pressione si propaga alla velocità $a$ in un fluido in quiete in un condotto a sezione costante, calcolare la velocità di propagazione. Risultato: $sqrt((dp)/(d\rho)|_s)$. Ma se il condotto non è a sezione costante, in teoria la definizione cambierebbe. Ma non cambia... Perché? Forse mi perdo in un bicchier d'acqua, ma non riesco a capire...
Provo a spiegarmi meglio: se nel primo caso $dA=0$ e $a^2=(dp)/(d\rho)|_s$, nel secondo caso $dA!=0$, per cui dovrebbe risultare anche $a^2!=(dp)/(d\rho)|_s$. Eppure l'equazione $(dA)/A=(M^2-1)(dV)/V$ segue dalla sostituzione della relazione $a^2=(dp)/(d\rho)$.
Provo a spiegarmi meglio: se nel primo caso $dA=0$ e $a^2=(dp)/(d\rho)|_s$, nel secondo caso $dA!=0$, per cui dovrebbe risultare anche $a^2!=(dp)/(d\rho)|_s$. Eppure l'equazione $(dA)/A=(M^2-1)(dV)/V$ segue dalla sostituzione della relazione $a^2=(dp)/(d\rho)$.
In altri termini, dimmi se sbaglio, ti stai chiedendo : la velocità delle piccole perturbazioni non dovrebbe dipendere anche dalla variazione della sezione del condotto ? Se un tubo aumenta di diametro, un suono prodotto all’ingresso non dovrebbe essere influenzato anche dall’ aumento della sezione di uscita?
Ho provato a fare qualche ricerca , per esempio guardando in questo sito della Unimore :
http://fisicaondemusica.unimore.it/Velo ... suono.html
ma non ne parla, mi sembra. Ma poi mi sono chiesto, da profano di acustica : come funziona un megafono ? E ho cercato la voce relativa su Wikipedia. Lasciamo stare quelli col microfono, pensiamo ad un semplice megafono come quelli di una volta, costituiti solo da un tubo a forma di tronco di cono, hai presente? Be’, la voce umana produce un’onda sonora che si propaga in tutto lo spazio attorno alla sorgente ( la bocca) , il megafono ha lo scopo di convogliare e "dirigere” il suono, per cui si ha meno dispersione e la voce viene potenziata nella direzione voluta. Anche noi a volte, se non abbiamo un megafono, mettiamo le mani attorno alla bocca per farci sentire meglio da una persona in una certa direzione, cambia l’energia indirizzata in quella direzione anziché dispersa.
Qui ci sono delle formule empiriche ,credo, che tengono conto della deformabilità del tubo :
https://neutrium.net/fluid-flow/speed-o ... -in-pipes/
D’altronde la formula di Laplace per la velocità del suono è chiara, è uguale alla radice quadrata di $(dp)/(d\rho)$ considerando la trasformazione isoentropica, non c’è traccia della sezione .
Farò altre ricerche.
Ho provato a fare qualche ricerca , per esempio guardando in questo sito della Unimore :
http://fisicaondemusica.unimore.it/Velo ... suono.html
ma non ne parla, mi sembra. Ma poi mi sono chiesto, da profano di acustica : come funziona un megafono ? E ho cercato la voce relativa su Wikipedia. Lasciamo stare quelli col microfono, pensiamo ad un semplice megafono come quelli di una volta, costituiti solo da un tubo a forma di tronco di cono, hai presente? Be’, la voce umana produce un’onda sonora che si propaga in tutto lo spazio attorno alla sorgente ( la bocca) , il megafono ha lo scopo di convogliare e "dirigere” il suono, per cui si ha meno dispersione e la voce viene potenziata nella direzione voluta. Anche noi a volte, se non abbiamo un megafono, mettiamo le mani attorno alla bocca per farci sentire meglio da una persona in una certa direzione, cambia l’energia indirizzata in quella direzione anziché dispersa.
Qui ci sono delle formule empiriche ,credo, che tengono conto della deformabilità del tubo :
https://neutrium.net/fluid-flow/speed-o ... -in-pipes/
D’altronde la formula di Laplace per la velocità del suono è chiara, è uguale alla radice quadrata di $(dp)/(d\rho)$ considerando la trasformazione isoentropica, non c’è traccia della sezione .
Farò altre ricerche.
Credo che la risposta sia nel meccanismo di propagazione delle onde. Un fluido accelera in un convergente perché risente degli effetti della comprimibilità. Evidentemente l'onda non si comporta come un fluido. Tra l'altro, $a$ è misurata come la velocità del fluido rispetto all'onda nel sistema di riferimento a cavallo dell'onda stessa. L'onda è ferma alla generica sezione $A$ e il fluido l'attraversa, passando da monte ($V=-a$) a valle ($V=-a+dV$). Se la si vede in questo modo, è chiaro che le variazioni di sezione c'entrino ben poco. In tal caso però, l'onda si propagherebbe all'infinito, e non mi sembra che sia così.
L’onda è una perturbazione del fluido, ha una sua velocità, e forse la tua idea è corretta. D’altronde se consideriamo un liquido in moto in una tubazione (idraulica!) , è fuori di dubbio che ogni restringimento del tubo, come una valvola o diaframma, e ogni deviazione, come un gomito , causa perdita di energia , per questo gli esperti di tubazioni cercano di progettare tubazioni più diritte possibili!
Ma la velocità del suono è di gran lunga superiore alla velocità del fluido nel tubo, in acqua è circa 1500 m/s se ben ricordo. Pure l’onda perde energia però, non si propaga all’infinito.
Comunque la questione merita un approfondimento.
Ma la velocità del suono è di gran lunga superiore alla velocità del fluido nel tubo, in acqua è circa 1500 m/s se ben ricordo. Pure l’onda perde energia però, non si propaga all’infinito.
Comunque la questione merita un approfondimento.
Supponiamo di avere un condotto a sezione variabile con $dV>0$ e quindi $dp<0$. Ricordando che $p_2/p_1=(T_2/T_1)^k$ con $k>1$, segue $dT<0$ ed evidentemente $da<0$. Segue che un $dV<0$ implica un aumento di $a$, che raggiunge valore massimo in condizioni di ristagno.
Ricapitolando, la velocità del suono dipende dal gradiente di pressione, che in un condotto a sezione variabile è funzione anche della distribuzione di sezioni. Ciò spiega perché la definizione $a^2=(dp)/(d\rho)|_s$ vale anche per $dA!=0$. Credo di non aver commesso errori, mi farebbe piacere però avere conferme.
Ricapitolando, la velocità del suono dipende dal gradiente di pressione, che in un condotto a sezione variabile è funzione anche della distribuzione di sezioni. Ciò spiega perché la definizione $a^2=(dp)/(d\rho)|_s$ vale anche per $dA!=0$. Credo di non aver commesso errori, mi farebbe piacere però avere conferme.
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