Velocità del centro di massa di un gessetto

[pica93]

Un gessetto cilindrico (momento di inerzia intorno al proprio asse $I = 1/2 m R^2$) di raggio R = 1 cm e massa M = 10g rotola senza strisciare su una catteda con pendenza alfa = 5°. Se il gessetto parte da fermo, quale sarà la velocità del suo centro di massa dopo aver coperto un dislivello di h = 5cm?
Io penso di dover eguagliare $mgh = I w^2$ ma non riesco aiuto

[mathbells]

Ciao! Usando la conservazione dell'energia meccanica, devi uguagliare $mgh$ all'energia cinetica totale $E_{TOT}$ del gessetto, che è data dalla somma delle energie cinetiche rotazionale $E_R$ e traslazionale $E_T$. Ora devi esprimere queste due energie cinetiche in funzione della velocità del centro di massa ed hai fatto

[pica93]

e come faccio a sapere l'altezza dell'energia potenziale?

[pica93]

rotola senza strisciare quindi è puro rotolamento, il ragionamento è sbagliato

[Silente]

L'altezza dell'energia potenziale di riferimento si sceglie in modo arbitrario, nel tuo caso l'ideale sarebbe alla fine del piano inclinato come valore 0.

[pica93]

ma alla fine del piano inclinato l'energia meccanica totale del gessetto è quella cinetica + quella potenziale che nel caso dell'altezza zero, è zero

[Silente]

All'inizio la cinetica è zero, alla fine la potenziale é zero.

[mathbells]

"Fede93":e come faccio a sapere l'altezza dell'energia potenziale?

L'esercizio stesso ti dice che copre un dislivello $h=5cm$

"Fede93":rotola senza strisciare quindi è puro rotolamento, il ragionamento è sbagliato

Non ho capito quale parte del ragionamento dici sia sbagliata....e quindi tiro ad indovinare i tuoi pensieri. Ti ricordo che il fatto che il moto sia di puro rotolamento non significa che non esista energia traslazionale. Il moto del gessetto può essere scomposto nella sovrapposizione di una rotazione intorno all'asse che passa per il suo centro di massa e di una traslazione del suo centro di massa parallelamente al piano inclinato.

"Ianero":L'altezza dell'energia potenziale di riferimento si sceglie in modo arbitrario, nel tuo caso l'ideale sarebbe alla fine del piano inclinato come valore 0.

"Fede93":ma alla fine del piano inclinato l'energia meccanica totale del gessetto è quella cinetica + quella potenziale che nel caso dell'altezza zero, è zero

"Ianero":All'inizio la cinetica è zero, alla fine la potenziale é zero.

Vedo che avete le idee un po' confuse. Il teorema di conservazione dell'energia meccanica si può scrivere così:

\(\displaystyle E=E_C+E_P=costante \) e quindi \(\displaystyle \Delta E=\Delta E_C +\Delta E_P=0 \)

da cui si ricava

\(\displaystyle \Delta E_C=-\Delta E_P \)

Poiché il gessetto scende, la sua energia potenziale diminuisce, e quindi $\Delta E_P < 0$; inoltre, essendo la variazione dell'altezza pari ad $h$ (come dice il testo dell'esercizio), ne segue che $\Delta E_P =-mgh$. In conclusione si ha:

\(\displaystyle \Delta E_C=-\Delta E_P=-(-mgh)=mgh \)

Siccome l'energia cinetica iniziale del gessetto era nulla, allora la sua variazione è pari a quella finale e cioè, come ho detto nell'altro post:

\(\displaystyle \Delta E_C=E_R+E_T=\frac{1}{2}I\omega ^2 + \frac{1}{2}mv^2 \)

Poiché si ha puro rotolamento, la velocità angolare $\omega$ e quella di traslazione $v$ sono legate dalla relazione $v=\omega r$ e quindi

\(\displaystyle \Delta E_C=E_R+E_T=\frac{1}{2}I\frac{v^2}{r^2} + \frac{1}{2}mv^2 \)

Sostituendo il valore del momento di inerzia si trova

\(\displaystyle \Delta E_C=\frac{3}{4}mv^2 \)

e quindi imponendo

\(\displaystyle \frac{3}{4}mv^2=mgh \)

si trova $v=2\sqrt{\frac{gh}{3}}$